空間充填２（２^n−１）胞体の体積と空間充填２^n＋２ｎ胞体の体積はすでに求まっている．

［１］１辺の長さ１の空間充填２（２^n−１）胞体の体積は

　　Ｖn＝（ｎ＋１）^(n-1/2)／２^n/2

［２］切頂面間距離４／ｎの空間充填２^n＋２ｎ胞体の体積は

　　Ｖn＝１／２（４／ｎ）^n

となる．

　ｎ＝３のとき，

　　２（２^n−１）＝２^n＋２ｎ

　　２（ｎ＋１）！＝２^n・ｎ！

がいずれも成り立つのは奇跡的一致と思えるのであるが，３次元では空間充填２（２^n−１）胞体＝空間充填２^n＋２ｎ胞体であるから，それぞれの元素は相似であった．

　しかし，一般には空間充填２（２^n−１）胞体と空間充填２^n＋２ｎ胞体は異なる．その場合，それぞれを２（ｎ＋１）！個，２^n・ｎ！個に等分した元素が相似になること，もっと一般的には一方の元素ｍ個からなる凸多胞体が，他方の元素ｎ個からなる凸多胞体と相似になることはあり得るのだろうか？

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　空間充填２^n＋２ｎ胞体の元素は２×２^nｎ！個で，正確に立方体を構成することができる．この元素２（ｎ＋１）！個で空間充填２（２^n−１）胞体を構成することができるものとする．

　切頂・切稜前の正単体と空間充填２（２^n−１）胞体の体積比は有理比であって，

　　２^nｎ！／ｎ^n（ｎ＋１）

で与えられるから，正単体は元素

　　２ｎ^n（ｎ＋１）^2／２^n

個分の体積であって，ｎが偶数ならは元素の整数倍であるが，ｎが奇数ならば有理数倍となる．

　しかし，空間充填２^n＋２ｎ胞体の元素から正単体が構成されたわけではなく，矛盾を導くことはできないのである．

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