（その２）では奇数ｎ角形の穴をあける問題に取り組んでみましたが，ドリルとなる正（ｎ−１）角形の各頂点の軌跡を描くと正ｎ角形の頂点のところで大きくはみ出してしまい，特にｎ＝５の場合，桜の花のような形の穴があいてしまいました．
このはみ出しはｎ＝５のとき最大になりますが，正（ｎ−１）角形の大きさや円弧の厚みを変えることによってもう少し正ｎ角形の穴に近づける工夫は可能と思われました．
とはいうものの，問題を解決するためにはどこに着目すべきかわからないので，まず１辺の長さが１の正五角形に内接する最大の正方形の１辺の長さがいくらになるか考えてみることにしました．
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【１】正五角形内にはいる最大の正方形
(1)正五角形の垂線を対角線とする正方形を考えます．正五角形の１辺の長さを１とすると，正方形の１辺は１．０８８１３となりますが，このとき正五角形の頂点と底辺以外にある正方形の２つの頂点は正五角形の枠内からはみ出してしまいます．そこで，正五角形内にはいる最大の正方形を求めてみることにしました．
(2)まず，正方形の１つの頂点を正五角形の頂角にはめ込んで，正方形の２つの頂点を正五角形の辺上におくと，正方形の１辺は１．０６７３となります．このとき，もうひとつの頂点は正五角形の垂線上で正五角形の底辺に触れていないところにきます．
(3)次の候補として，正五角形の底辺と平行・垂直な辺をもつ正方形を求めると１辺の長さは１．０６０５となりました．(3)はどちらへも動かしようがないので最大のものと考えたくなるのですが，真の解（正五角形内にはいる最大の正方形）は辺の長さ１．０６７３の正方形(2)ということになります．
(1)(2)を緑で，(3)を白で示します．
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【２】正ｎ角形内にはいる最大の正（ｎ−１）角形
同様のことをｎ＝７，９，１１，１３，・・・についても求めてみます．(2)では正ｎ角形の頂点に連接する辺上に正（ｎ−１）角形の２頂点がくる，(3)では正ｎ角形の頂点に連接する辺上に２頂点，正ｎ角形の底辺に連接する辺上に２頂点あるとして計算式をたてます．
計算式は複雑になるので省きますが，
ｎ (1) (2) (3)
５ 1.08813 1.0674 1.0605
７ 1.09532 1.06654 1.08378
９ 1.08515 1.05589 1.0794
11 1.07463 1.04695 1.07137
13 1.06578 1.04012 1.06377
15 1.05857 1.03489 1.05724
17 1.05268 1.0308 1.05176
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99 1.00995 1.00512 1.00994
となりました．
ｎ＝５のときは(2)>(3)ですが，ｎ＞５では(2)<(3)となって(3)の値はｎの増加とともに(1)の値に近づくようです．その意味でｎ＝５は特別な場合になっていることがわかります．
［１］正七角形内にはいる正六角形
［２］正九角形内にはいる正八角形
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【３】雑感
今回求めた正方形（に円弧をつけたもの）を正五角形に接しながらはみ出すことなくスムーズに１回転させることができるかどうかはまた別の問題です．運動学的な要素が加わると問題は難しくなり，いまのところ，正五角形に接しながらスムーズに１回転させることができる最大の正方形がどうなるかについてはわかりませんが，少なくとも正五角形内にはいる最大の（静的な）正方形の存在は確かめられたわけです．
また，（その２）では正ｎ角形（ｎ：奇数）の頂点から底辺に下ろした垂線を対角線とする正（ｎ−１）角形に，中心角が２π／ｎ（ｎ−１）の円弧で少し丸みをつけたドリルを考えました．この頂点は正ｎ角形の頂角２π／ｎにピッタリとはまり込むのですが，正（ｎ−１）角形の頂点は正ｎ角形に内接しませんし，正ｎ角形からはみ出してしまう頂点もありました．
正ｎ角形の枠からはみ出さないようにするために，ｎ＝５では１辺の長さが(3)，ｎ＞５では１辺の長さが(2)の正（ｎ−１）角形のドリルにすればはみ出しを小さくすることができるのですが，次に問題になるのは円弧の厚みです．
正ｎ角形の頂角２π／ｎにピッタリとはまり込むものを考えると，円弧は中心角が２π／ｎ（ｎ−１）となります．しかし，それを正ｎ角形の底辺上におくと正ｎ角形からはみ出してしまう頂点がでてきます．
以下にはｎ＝５の場合で，(3)１辺１．０６０５の正方形に中心角が２π／ｎ（ｎ−１）の円弧をつけたものを示します．(1)１辺１．０８８１３の正方形の場合に比べて小さくなったとはいえ，それでもはみ出してしまう頂点がありますから，明らかに円弧の厚みが足りないわけです．一方，円弧が厚すぎるとかえって回転のじゃまになるかもしれません．円弧については問題多しです．そもそも円弧自体必要のないものかもしれません．
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