［Ｑ］３辺の長さｘ，ｙ，ｚが整数でかつ長さの平方ｘ^2，ｙ^2，ｚ^2が等差数列をなす三角形は？

［Ａ］ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2，Ｓ＝ａｂ／２，ａ＞ｂ

とおく．（ａ，ｂ，ｃ）はピタゴラス数で，Ｓはその面積というわけである．

　　ａ＝ｌ（ｍ^2−ｎ^2），ｂ＝２ｌｍｎ，ｃ＝ｌ（ｍ^2＋ｎ^2），ｍ＞ｎ

　このとき，

　　ｘ＝ａ−ｂ，ｙ＝ｃ，ｚ＝ａ＋ｂ

　　ａ＝（ｘ＋ｚ）／２，ｂ＝（ｚ−ｘ）／２，ｃ＝ｙ

とおくと，

　　ｘ^2＋４Ｓ＝ｙ^2，ｙ^2＋４Ｓ＝ｚ^2

ｘ^2，ｙ^2，ｚ^2は公差ｄ＝４Ｓの等差数列で，ｘ^2＋ｚ^2＝２ｙ^2が成り立つ．

　　ｄ＝４Ｓ＝２ａｂ＝４ｌ^2ｍｎ（ｍ^2−ｎ^2）＝４ｌ^2｛ｎ（ｍ−１）ｍ（ｍ＋１）−ｍ（ｎ−１）ｎ（ｎ＋１）｝

連続する３個の自然数の積は３！＝６の倍数であるから，ｄは２４の倍数となる．

　ただし，ｄはすべての２４の倍数をとりうるわけではなく，

　　ｄ＝２４，９６，１２０，・・・可能

　　ｄ＝４８，７２，・・・不可能

　　ｘ＝ｌ｜ｍ^2−ｎ^2−２ｍｎ｜，ｙ＝ｌ（ｍ^2＋ｎ^2），ｚ＝ｌ（ｍ^2＋ｎ^2−２ｍｎ），ｔ＝ｍ／ｎ（＞１）とおくことにより，

　　ｙ＝（ｔ^2＋１）ｘ／｜ｔ^2−２ｔ−１｜

　　ｚ＝（ｔ^2＋２ｔ−１）ｘ／｜ｔ^2−２ｔ−１｜

　たとえば，ｔ＝２とおくことにより，（ｘ，ｙ，ｚ）＝（ｋ，５ｋ，７ｋ）→ＮＧ，ほかにも（７ｋ，１３ｋ，１７ｋ）→ＯＫ，（７ｋ，１７ｋ，２９ｋ）→ＮＧ，（２３ｋ，３７ｋ，４７ｋ）→ＯＫなどが求まる．

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［Ｑ］３辺の長さｘ，ｙ，ｚが整数でかつ長さの平方ｘ^2，ｙ^2，ｚ^2が等差数列をなす三角形は？

　ここでは，３つの平方数の和ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2は決して素数ではあり得ないことを示しておきたい．

　　ｘ：ｙ：ｚ＝１：ｍ／ｎ：（ｍ／ｎ）^2

　　ｙ＝ｍ／ｎ・ｘ，ｚ＝（ｍ／ｎ）^2・ｘ

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝ｘ^2（１＋（ｍ／ｎ）^2＋（ｍ／ｎ）^4）＝ｘ^2／ｎ^4（ｍ^4＋ｍ^2ｎ^2＋ｎ^4）

　　ｍ^4＋ｍ^2ｎ^2＋ｎ^4＝（ｍ^2＋ｍｎ＋ｎ^2）（ｍ^2−ｍｎ＋ｎ^2）

この数が素数ｐであり得るのは

　　ｍ^2＋ｍｎ＋ｎ^2＝ｐ，ｍ^2−ｍｎ＋ｎ^2＝１

のときに限られるが，必然的に

　　２（ｍ^2＋ｎ^2）＝ｐ＋１，２ｍｎ＝ｐ−１

　　（ｍ−ｎ）^2＝（ｐ＋１）／２−ｐ＋１＝（−ｐ＋３）／２→ｐ＝３

　　ｍ＝ｎ＝１，ｐ＝３

となってしまう．

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