（その１１）では，算術平均Ａ（ａ^n）と幾何平均Ｇ（ａ^n）についてのフルヴィッツ・ムーアヘッドの等式

　　ｎ｛Ａ（ａ^n）−Ｇ（ａ^n）｝

　＝１／２（ｎ−１）！｛Σ（ａ1^(n-1)−ａ2^(n-1)）（ａ1−ａ2）＋Σ（ａ1^(n-2)−ａ2^(n-2)）（ａ1−ａ2）ａ3＋Σ（ａ1^(n-3)−ａ2^(n-3)）（ａ1−ａ2）ａ3ａ4＋・・・｝

を紹介した．右辺はａ1，ａ2，・・・，ａnを置換して得られる値の総和である．

　また，このことから算術平均と幾何平均の大小関係についての有名な不等式

　　Ａ（ａ^n）≧Ｇ（ａ^n）

の別証明が得られる．

　　Σ（ａ1^(n-1)−ａ2^(n-1)）（ａ1−ａ2）＋Σ（ａ1^(n-2)−ａ2^(n-2)）（ａ1−ａ2）ａ3＋Σ（ａ1^(n-3)−ａ2^(n-3)）（ａ1−ａ2）ａ3ａ4＋・・・

　＝ΣＰ1（ａ1−ａ2）^2＋ΣＰ2（ａ1−ａ2）^2＋ΣＰ3（ａ1−ａ2）^2＋・・・

　＝Σ（Ｐ1＋Ｐ2＋Ｐ3＋・・・）（ａ1−ａ2）^2

　＝ΣＰ0（ａ1−ａ2）^2≧０

　このように２次式の和の形ΣｋＰ^2が出現するのだが，さらに，

　　ａ1＝ｘ1^2，ａ2＝ｘ2^2，・・・

とおくと，

　　（ａ1^(n-1)−ａ2^(n-1)）（ａ1−ａ2）

　＝（ｘ1^2(n-1)−ｘ2^2(n-1)）（ｘ1^2−ｘ2^2）

　＝（ｘ1^2−ｘ2^2）^2（ｘ1^2(n-2)＋ｘ1^2(n-3)ｘ2^2＋・・・＋ｘ2^2(n-2)）

となり，各項が（ｘ1^2−ｘ2^2）ｘ1^(n-2)の平方の形の多項式となっていることがわかる．このことから，多項式Ｐ1，Ｐ2，・・・それ自体も平方の和となることが理解される．

　そのことを具体的に書いてみると

　　（ａ^2＋ｂ^2）／２−ａｂ＝１／２（ａ−ｂ）^2≧０

　　（ａ^6＋ｂ^6＋ｃ^6）／３−ａ^2ｂ^2ｃ^2＝１／６（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）｛（ａ^2−ｂ^2）^2＋（ｂ^2−ｃ^2）^2＋（ｃ^2−ａ^2）^2｝≧０

である．右辺が平方式の和に書き直せるので非負になることは明らかであろう．今回のコラムでは（その１１）を補足補完しておきたい．

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【１】ヒルベルトの定理

　フルヴィッツ・ムーアヘッドの等式により，

　　ａ1^n＋ａ2^n＋・・・＋ａn^n−ｎａ1ａ2・・・ａn

を各項が非負値の和として表すことができることがわかっているが，特に２ｎ次のとき，

　　Ｆ＝ｘ1^2n＋ｘ2^2n＋・・・＋ｘ2n^2n−２ｎｘ1ｘ2・・・ｘ2n

　　　＝ｘ1^2n＋・・・＋ｘn^2n−ｎｘ1^2・・・ｘn^2

　　　＋ｘn+1^2n＋・・・＋ｘ2n^2n−ｎｘn+1^2・・・ｘ2n^2

　　　＋ｎ（ｘ1・・・ｘn−ｘn+1・・・ｘ2n）^2

より，

　　Ｆ＝ΣＰi^2≧０

を示すことができる．

　この定理は，

　　a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd

　　a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6-6abcdef

が多項式の平方の和となることを保証するものである．たとえば，

　　ｘ^4＋ｙ^4＋ｚ^4＋ｗ^4−４ｘｙｚｗ

　＝（ｘ^2−ｙ^2）^2＋（ｚ^2−ｗ^2）^2＋２（ｘｙ−ｚｗ）^2

は３個の多項式の平方の和である．

　また，

　　ｘ^6＋ｙ^6＋ｚ^6＋ｕ^6＋ｖ^6＋ｗ^6−６ｘｙｚｕｖｗ

　＝１／２（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）｛（ｙ^2−ｚ^2）^2＋（ｚ^2−ｘ^2）^2＋（ｘ^2−ｙ^2）^2｝＋１／２（ｕ^2＋ｖ^2＋ｗ^2）｛（ｖ^2−ｗ^2）^2＋（ｗ^2−ｕ^2）^2＋（ｕ^2−ｖ^2）^2｝＋３（ｘｙｚ−ｕｖｗ）^2

は１９個の多項式の平方の和である．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　ヒルベルトは，多項式の不等式は必ず平方式の和として表されるという予想をたてた．そして，どのようなＦがいくつかの多項式Ｐiを用いて

　　Ｆ＝ΣＰi^2≧０

と表されるかという問題の証明を試みたのであるが，基本的には正しいものの当初予想されたような完全な完全な形での成立は不可能であることがわかった．

　最終的には，Ｆの次数を２ｎとし，変数の数をｍとした場合，

　　(1)ｍ＝２，ｎは任意

　　(2)ｍは任意，２ｎ＝２

　　(3)ｍ＝３，２ｎ＝４

は実数係数２次形式の和で表されるが，これ以外のものについては表されないものが存在するという結論である．

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【２】ムーアヘッド平均（算術平均と幾何平均の一般化）

　たとえば，算術平均・幾何平均の不等式

　　（ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3）／３≧ａｂｃ

の左辺も右辺も

　　（ａ^xｂ^yｃ^z＋ａ^xｂ^zｃ^y＋ａ^yｂ^zｃ^x＋ａ^yｂ^xｃ^z＋ａ^zｂ^xｃ^y＋ａ^zｂ^yｃ^x）／６

の特別な場合になっていることに気づかされるであろう．

　ｘ≧ｙ≧ｚ≧０として（ｘ，ｙ，ｚ）を指標と呼ぶことにするが，左辺は指標（ｘ，ｙ，ｚ）＝（３，０，０），右辺は指標（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１，１，１）である．また，いずれにおいてもｘ＋ｙ＋ｚ＝３という条件が満たされている．

　不等式

　　（ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3）／３≧ａｂｃ

を

　　Ｍ（３，０，０）≧Ｍ（１，１，１）

と書くことにするが，Ｍ（ｘ，ｙ，ｚ）をムーアヘッド平均と呼ぶことにする．ムーアヘッド平均は算術平均と幾何平均の一般化である．

　次に

　　Ｍ（２，１，０）＝（ａ^2ｂ＋ａ^2ｃ＋ａｃ^2＋ａｂ^2＋ｂ^2ｃ＋ｂｃ^2）／６

について考えてみるが，実は

　　Ｍ（３，０，０）≧Ｍ（２，１，０）≧Ｍ（１，１，１）

が成立する．そして，このことから

　　Ｍ（３，０，０）≧Ｍ（１，１，１）

よりも

　　Ｍ（３，０，０）≧Ｍ（２，１，０），

　　Ｍ（２，１，０）≧Ｍ（１，１，１）

の方が本質的な性質であることがわかる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　さらに

　　Ｍ（ｘ，ｙ，ｚ）≧Ｍ（ｕ，ｖ，ｗ）

が成り立つための必要十分条件は，指標

　　（ｘ，ｙ，ｚ）＞（ｕ，ｖ，ｗ）

が成り立つことである（ム−アヘッドの定理）．

　指標（ｘ，ｙ，ｚ）＞（ｕ，ｖ，ｗ）の意味については次節で説明することにするが，ムーアヘッド平均に関する不等式は，算術平均・幾何平均の不等式の一般化であり，対応する指標に関する不等式に帰着されるのである．（ム−アヘッドの定理の条件の必要性の証明はわかるが，十分性の証明は込み入っている）．

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【３】分割とムーアヘッドの定理

　非負整数の非増加列，すなわち，

　　λ＝（λ1，λ2，・・・，λn）

　　λ1≧λ2≧・・・≧λn＞０

なる整数列を分割（partition）という．

　ここでは

　　λ1≧λ2≧・・・≧λn≧０，ｎ＝３

の場合を扱うことになるので注意してほしい．（≧−１とすることができれば調和平均も扱えるのだが，・・・）

　分割はλ＝（λ1，λ2，・・・，λn）でパラメトライズされるわけであるが，分割λに対して

　　｜λ｜＝Σλi

を分割λのサイズ，λiが零でないｉの総数をｌ（λ）と書いて分割λの長さという．前節の例でいえばｘ＋ｙ＋ｚ＝３が分割のサイズである．

　変数の数が３の場合，サイズ１の分割の集合は

　　Ｓ1＝｛（１，０，０）｝

サイズ２の分割の集合は

　　Ｓ2＝｛（２，０，０），（１，１，０）｝

サイズ３の分割の集合は

　　Ｓ3＝｛（３，０，０），（２，１，０），（１，１，１）｝

である．

　分割の集合を求めるのは難しいことではなく，たとえば，変数の数が３の場合，サイズ６の分割の集合は

　　Ｓ6＝｛（６，０，０），（５，１，０），（４，２，０），（４，１，１），（３，３，０），（３，２，１），（２，２，２）｝

サイズ７の分割の集合は

　　Ｓ7＝｛（７，０，０），（６，１，０），（５，２，０），（５，１，１），（４，３，０），（４，２，１），（３，３，１），（３，２，２）｝

サイズ８の分割の集合は

　　Ｓ8＝｛（８，０，０），（７，１，０），（６，２，０），（６，１，１），（５，３，０），（５，２，１），（４，４，０），（４，３，１），（４，２，２），（３，３，２）｝

となる．

　次に，分割の集合に自然な順序を定義したい．λ≧μとは

　　｜λ｜＝｜μ｜

かつすべてのｉに対して

　　λ1＋・・・＋λi≧μ1＋・・・＋μi

が成り立つこととする（ｉ＝１〜ｎ）．

　すると

　　(2)>(1^2)

　　(3)>(21)>(1^3)

　　(4)>(31)>(2^2)>(21^2)>(1^4)

　　(5)>(41)>(32)>(31^2)>(2^21)>(21^3)>(1^5)

　　(6)>(51)>(42)>(41^2)>(321)>(31^3)>(2^21^2)>(21^4)>(1^6)

　　 >(3^2)> >(2^3)>

となって｜λ｜≦５の場合には全順序（辞書式順序）であるが，｜λ｜≧６の場合は半順序となることが理解される．（λ1≧λ2≧･･･≧λn≧0として，（λ1，λ2，･･･，λn）のことを（λ1λ2･･･λn），(1111)のことを(1^4)と表している．）

　３変数の場合に限ると，

　　(2)>(1^2)

　　(3)>(21)>(1^3)

　　(4)>(31)>(2^2)>(21^2)

　　(5)>(41)>(32)>(31^2)>(2^21)

　　(6)>(51)>(42)>(41^2)>(321)>(2^3)

　　 >(3^2)>

となって，指標（４，１，１）と（３，３，０）の間には大小関係がないということになる．

　３変数６次多項式

　　ａ^4ｂｃ＋ａｂｃ^4＋ａｂ^4ｃ

と

　　ａ^3ｂ^3＋ａ^3ｃ^3＋ｂ^3ｃ^3

については大小関係が成立しないものが存在するのである．

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【４】モノミアル対称多項式（基本対称式の一般化）

　分割λに対応する単項対称多項式（モノミアル対称多項式）を

　　ｍλ（ｘ）＝Σｘ1^α1ｘ2^α2・・・ｘn^αn

により定義する．ただし，この和はλ＝（λ1，λ2，・・・，λn）の入れ替えで生じる単項式すべてを動くものとする．すなわち，単項対称多項式は単項式ｘ1^α1・・・ｘn^αnの線形結合をとって得られる対称化多項式である．

　｜λ｜＝３，ｎ＝３とすれば

　　ｍ(3)（ｘ）＝ｘ1^3＋ｘ2^3＋ｘ3^3

　　ｍ(21)（ｘ）＝ｘ1^2ｘ2＋ｘ1^2ｘ3＋ｘ2^2ｘ1＋ｘ2^2ｘ3＋ｘ3^2ｘ1＋ｘ3^2ｘ2

　　ｍ(1^3)（ｘ）＝ｘ1ｘ2ｘ3

　また，ベキ和対称関数をｒ次のベキ和

　　ｐr＝Σｘ^r＝ｍ(r)（ｘ）

と分割λ＝（λ1，λ2，・・・）に対して

　　ｐλ＝ｐλ1ｐλ2・・・＝Πｐλi

と定義すると，ｎ＝３の場合，

　　ｐ(3)（ｘ）＝ｘ1^3＋ｘ2^3＋ｘ3^3

　　ｐ(21)（ｘ）＝（ｘ1^2＋ｘ2^2＋ｘ3^2）（ｘ1＋ｘ2＋ｘ3）

　　ｐ(1^3)（ｘ）＝（ｘ1＋ｘ2＋ｘ3）^3

のようになる．

　さらに，ヤング図形の縦１列に対応する場合がｒ次の基本対称式

　　ｅr（ｘ）＝σr＝ｍ(1^r)

ヤング図形の横１列に対応する場合がｒ次の完全（同次）対称多項式

　　ｈr（ｘ）＝Σｍλ（ｘ）　　　｜λ｜＝ｒ

であるが，ｅλ（ｘ），ｈλ（ｘ）についてもベキ和対称多項式の場合と同様に定義する．

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【補】凸関数の応用

　上に凸な関数では，不等式

　　φ（(a1+a2+･･･+an)/n）≧（φ(a1)＋φ(a2)＋・・・＋φ(an)）／ｎ

が成立する．このことからφ(x)=logxとおくと，算術平均・幾何平均の不等式は容易に証明される．

　また，不等式

　　f(x)=exp(x)-x-1≧0

　　g(x)=x^n-nx+(n-1)≧0

などを使っても算術平均・幾何平均の不等式を示すことができる．

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