Ｓ^nに同相であるが，微分同相でない多様体Σ^nをエキゾチックな球面と呼ぶ．この判定に初めて成功したのがミルナーで，Σ^7の存在を示した．ここでは，ミルナーの定理について補足しておきたい．

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【１】エキゾチックな球面（ミルナーの定理）

　それでは，Ｓ^n上に何個の異なる微分構造が存在するのだろうか？　ミルナーはＳ^7上に少なくとも４個の異なる微分構造が存在することを示したのであるが，その後，多様体の手術理論を創始して，Ｓ^7上に２８個の異なる微分構造が存在することを決定した．

　球面に許される微分構造の数を表にしてみると，

　　次元 微分構造　　次元 微分構造　　次元 微分構造

　　１ 1 ７ 28 13 3

　　２ 1 ８ 2 14 2

　　３ 1 ９ 8 15 16256

　　４ - 10 6 16 2

　　５ 1 11 992 17 16

　　６ 1 12 1 18 16

19 523264

　Ｓ^4n-1上には異なる微分構造の個数θ（４ｎ−１）が前後の次元に比べて飛躍的に多くなります．また，

　　θ（７）＝２８

　　θ（１１）＝２・４９６

　　θ（１５）＝２・８１２８

　　θ（４ｎ−１）＝２^(2n-2)・（２^(2n-1)−１）×（４Ｂn／ｎの分子）

２８，４９６，８２１８，・・・は完全数であることが知られています．

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【２】高次元ポアンカレ予想の解決（スメールの定理）

　Σ^nがＳ^nにホモトピー同値であるならば，ｎ≧５のとき，Σ^nはＳ^nと同相である．

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