特性類について聞きかじったことをまとめておきたい．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［１］Ｋ種数

　有理数係数の形式的ベキ級数

　　Ｋ（ｔ）＝１＋λ1ｔ＋λ2ｔ^2＋・・・λnｔ^n＋・・・

が与えられると，Ｋ（ｔ）に属する乗法的列｛Ｋn（ｐ1，・・・，ｐn）｝が一意存在することが知られている．乗法的列ではＫ（ａｂ）＝Ｋ（ａ）Ｋ（ｂ）が満たされる．

　このとき４ｎ次多様体に対して，Ｋ種数

　　Ｋ［Ｍ^4n］＝＜Ｋn（ｐ1，・・・，ｐn），［Ｍ^4n］＞＝Ｑ

が定義される．ただし，

　　ｐi＝Ｈ^4i（Ｍ^4n，Ｚ）はポントリャーギン類

　　［Ｍ^4n］＝Ｈ4i（Ｍ^4n，Ｚ）＝Ｚは基本ホモロジー類

　　＜，＞はクロネッカー積

　　Ｋ1（ｐ1）＝λ1ｐ1

　　Ｋ2（ｐ1，ｐ2）＝λ2ｐ1^2＋（λ1^2−２λ2）ｐ2

　　Ｋ3（ｐ1，ｐ2，ｐ3）＝λ3ｐ1^3＋（λ1λ2−３λ3）ｐ1ｐ2＋（λ1^3−３λ1λ2＋３λ3）ｐ3

が定まる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［２］Ｌ種数

　　Ｌ（ｔ）＝（√ｘ）／ｔａｎｈ（√ｘ）＝１＋ｘ／３−ｘ^2／４５＋２ｘ^3／９４５−・・・＋（−１）^n-1２^2nＢnｘ^n／（２ｎ）！＋・・・

　　Ｌ0＝１

　　Ｌ1＝１／３ｐ1

　　Ｌ2＝１／４５（７ｐ2−ｐ1^2）

　　Ｌ3＝１／９４５（６２ｐ3−１３ｐ2ｐ1＋２ｐ1^3）

　　Ｌ4＝１／１４１５７（３８１ｐ4−７１ｐ3ｐ1−１９ｐ2^2＋２２ｐ2ｐ1^2−３ｐ1^4）

と，Ｌn＝Ｌn（ｐ1，・・・，ｐn）が定まる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［３］ヒルツェブルフの符号数定理

　　Ｌ［Ｍ^4n］＝σ（Ｍ^4n）

というのがヒルツェブルフの符号数定理であるが，Ｌ種数は定義から一般に有理数であるが，符号数は整数であるから，有理数の１次結合がことごとく整数になるという驚くべき定理なのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝