今回のコラムでは（その５）で遣り残したシュレーフリ関数の計算と応用を取り上げることにする．
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【１】シュレーフリ関数の計算
シュレーフリ関数は二面角が直角の場合（超立方体の場合）を基準としています．二面角が直角の１次元基本単体を外接円に射影すると，外接円は４等分（＝２^2）されます．二面角が直角の２次元単体を外接球に射影すると，外接球は８等分（＝２^3）されますから，
２^(-n)ｎ！ｓnＦn(π／４)＝２^(-n)ｓn
したがって，
Ｆn(π／４)＝１／ｎ！
正単体の場合，θ＝π／３で，超球面は（ｎ＋１）胞により分割されますから
２^(-n)ｎ！ｓnＦn(π／３)＝ｓn／（ｎ＋１）
より，
Ｆn(π／３)＝２^n／（ｎ＋１）！
となります．
また，相補性を考慮すると
２^(-n)ｎ！ｓnＦn(θ)＋２^(-n)ｎ！ｓnＦn(π−θ)＝ｓn
すなわち
Ｆn(θ)＋Ｆn(π−θ)＝２^n／ｎ！
ですから，θ＝π／２を代入して
Ｆn(π／２)＝２^(n-1)／ｎ！
であることがわかります．
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Ｆ3（1/2arccos(1/3)）＝arccos(1/3)／π−１／３
それに対して，Ｆ4(θ)を解析的に求めることは難しいのですが，Ｆ4（1/2arccos(1/4)）の場合，公式
Ｆn+1（1/2arccos(1/n)）＝０
を用いて，
Ｆ5（1/2arccos(1/4)）＝０
また，
Ｆ5(θ)＝Ｆ4(θ)-1/3Ｆ2(θ)+2/15
より，
Ｆ4（1/2arccos(1/4)）＝1/3(arccos(1/4)／π-2/5)
と計算されます．
Ｆ4では，特殊値
Ｆ4（1/2arccos(1/3)）＝０
Ｆ4（π-1/2arccos(1/3)）＝2/3
Ｆ4（1/2arccos(1/4)）＝1/3(arccos(1/4)／π-2/5)
Ｆ4（π-1/2arccos(1/4)）＝1/3(12/5-arccos(1/4)／π)
の他にも，
Ｆ4（π/5）＝1/900，Ｆ4（2π/5）＝191/900，Ｆ4（3π/5）＝409/900，Ｆ4（4π/5）＝599/900
Ｆ4（π/4）＝1/24，Ｆ4（π/2）＝1/3，Ｆ4（3π/4）＝5/8
Ｆ4（π/3）＝2/15，Ｆ4（2π/3）＝8/15
が知られています．
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【２】シュレーフリ関数の応用
［１］kissing numberとシュレーフリ関数
ｎ次元ユークリッド空間において，１つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τnは，接吻数（kissing number）あるいは接触数（contact number）と呼ばれていて，最密充填構造「同じ半径の球をできるだけ稠密詰めるにはどうしたらよいか」という空間の球による充填問題と深い関連があります．
τ1＝２，τ2＝６，τ3＝１２
また，４次元以上の高次元では，８次元（２４０個）と２４次元（１９６５６０個）の場合を除いて未解決です．
τ8＝２４０，τ24＝１９６５６０
ｎ次元球のkissing numberの上界は，コクセターの方法によって粗雑ながら押さえられますが，それは１球面上に大きさの等しい球帽（球面上の円，球面半径φ）を埋め込むときの最密充填の問題に帰着されます（球面上の最密円配置）．
（その５）で解説したように，ｎ次元正単体（二面角２θ）の頂点を超球の中心において，（ｎ−１）次元球面上に射影します．球面上には（ｎ−１）次元球面正三角形ができ，その面積は
Σ＝２^(-n)ｎ！ｓnＦn(θ)
で与えられます．これは正単体の１辺の球面距離２φの関数になります．
また，σを球面正三角形の頂角の和とすると，球面上にはｎ個の点が配置され，（ｎ−２）次元球帽が（ｎ−１）次元球面を覆うことになります．そして，１つの頂角は（ｎ−１）次元正単体を（ｎ−２）次元球面上に射影したものに等しくなりますから
σ＝ｎ２^(-n+1)（ｎ−１）！Ｆn-1(θ)
すなわち，上界は
（ｐ，３，・・・，３），θ＝π／ｐ
なる三角形面正多面体（単体的正多面体：ｎ−１次元面が単体）の頂点に（ｎ−２）次元球を配置する問題となるのですが，ここで，球面上にＮ(φ)個の点を配置した場合，不等式
Ｎ(φ)≦σｓn／Σ
が成り立ちますから，最終的に
Ｎ(φ)≦２Ｆn-1(θ)／Ｆn(θ)
ｓｅｃ２θ＝ｓｅｃ２φ＋ｎ−２
を得ることができます．
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kissing number（τn）に関しては，φ＝π／６の場合を考えればよいので， τn≦２Ｆn-1(1/2arcsecn)／Ｆn(1/2arcsecn)
となり，
ｎ＝２ → ２Ｆ1(π/6)／Ｆ2(π/6)＝６
ｎ＝３ → ２Ｆ2(1/2arcsecn3)／Ｆ3(1/2arcsecn3)＝6/(3-π/arcsec3)＝１３．３９・・・（１３）
ｎ＝４ → ２Ｆ3(1/2arcsecn4)／Ｆ4(1/2arcsecn4)＝5(1+1/(2-2π/arcsec4))＝２６．４４・・・（２６）
５次元以上では，数値積分によらなければなりませんが，
ｆn(x)＝Ｆn(1/2arcsecx)
と書くことにすると，
ｆ2(x)＝arcsecx/x
ｆn(x)＝1/π∫(n-1,x)ｆn-2(x-2)/x√(x^2-1)dx
＝ｆn(n)＋1/π∫(n,x)ｆn-2(x-2)/x√(x^2-1)dx
ｆn(x)＝ｆn-1(x)-1/3ｆn-3(x)+2/15ｆn-5(x)-17/315ｆn-7(x)+62/2835ｆn-9(x)-･･･(n:odd)
ｆn(x)＝1/3ｆn-2(x)-2/15ｆn-4(x)+17/315ｆn-6(x)-62/2835ｆn-8(x)+･･･(n:even)
リーチは台形則を用いて数値積分し，
２ｆn-1(n)／ｆn(n)
を求めました．その結果，上界は
２ｆ3(4)／ｆ4(4)=26.44･･･(26)
２ｆ4(5)／ｆ5(5)=48.70･･･(48)
２ｆ5(6)／ｆ6(6)=85.81･･･(85)
２ｆ6(7)／ｆ7(7)=146.57･･･(146)
２ｆ7(8)／ｆ8(8)=244.62･･･(244)
以下，(9)401,(10)648,(11)1035,(12)1637,･･･と続きます．
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［２］ニュートンの１３球問題
１つの１０円玉を机の上において，それと触れ合うようにかつお互いに重ならないようにして，６個の１０円玉を置くことができます．１次元の球は区間であり，接触数は１次元のとき２個，２次元のとき６個であることは自明であって，幼稚園児でも解くことができそうです．
平面上で与えられるたいていの問題は，３次元あるいは高次元の空間で考察することができます．一般に，ｎ次元ユークリッド空間において，１つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τn は接吻数（kissing number）あるいは接触数（contact number）と呼ばれていて，最密充填構造と深い関連があります．
１０円玉の例からわかるようにτ2＝６ですが，ｎ≧３のとき，τn はどうなるでしょうか？ まず，３次元の場合，単位球のまわりに面心立方格子状に単位球を置いた場合の接触点
1/√2（±１，±１，０）
1/√2（±１，０，±１）
1/√2（０，±１，±１）
を考えてみると，これら１２個の相異なる２点に対応するベクトルの内積は，−１，±１／２，０のいずれかであり，したがって，その間の角度（球面距離）は６０度以上となりますから，これらの点で接するように１２個の単位球を置くことができます．したがって，τ3≧１２は直ちにわかります．
実際，正２０面体の１２個の頂点に対して，そこで接するように１２個の単位球を置くことができます．この場合，頂点間の角度は約６３゜２６′になり，１２個の球は互いに接触しておりません．（単位球に内接する正２０面体の稜の長さは
(4-(cossec36)^2)^(1/2)=(2-2/√5)^(1/2)=1.0514･･･>1
となりこの配列にはまだ遊隙がある．）
少しだけなら自由に動かせるという状況ですから，その隙間を一つに集めたらもう一個球が入るのではないでしょうか？ ところが，これができるかできないかはあまり自明ではありません．机の上に置かれた１０円玉が６個の同じ１０円玉に接触することができるのは１つの配列に限られるからであって，１２個の球は菱形１２面体配列でも菱形台形１２面体配列でも，また正２０面体の頂点においても１２個のほかの球と接触することができるので，３次元になるととたんに問題が難しくなってしまうのです．
３次元の球の最大接触数τ3については，１６９４年にニュートンとグレゴリーの間で議論され，ニュートンは１２を，グレゴリーは１３を主張したといわれています．結局，ニュートンは１２個が最大であるという証明ができず，グレゴリーも１３個並べたわけではないので，「ニュートンの１３球問題」と呼ばれるこの論争は引き和けに終わりました．
１８７４年，ホッペが１２個が最大であることという証明を試みましたが，不備があり，ようやく完全な証明がなされたのは１９５３年，ファン・デル・ヴェルデンとシュッテによってです．つまり，３次元空間内で１つの球には同時に１２個の球しか接することができません．３次元のときは１２個という解が得られこの古い論争に決着がつくまで非常に長い年月がかかったことになります．
４次元の場合はどうなるでしょうか？ ２４個の面心立方格子状配置の接触点
1/√2（±１，±１，０，０）
1/√2（±１，０，±１，０）
1/√2（±１，０，０，±１）
1/√2（０，±１，±１，０）
1/√2（０，±１，０，±１）
1/√2（０，０，±１，±１）
で重ならないように置けるので，τ4≧２４は明らかです．また，τ4≦２５は示されていますが，現在でもτ4が２４であるか２５であるかは未解決です．
ｎ次元ユークリッド空間において，１つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τnの正確な値を決定する問題は大変難しく，４次元以上の高次元については，高度に対称的な格子状配置になっている８次元（２４０個）と２４次元（１９６５６０個）の場合を除いて未解決であり，現在，正確な値が知られているのは，
τ1＝２，τ2＝６，τ3＝１２，τ8＝２４０，τ24＝１９６５６０
の５つだけなのです．
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［３］単体的密度限界とシュレーフリ関数
単体的密度限界とは，稜の長さが２ｒのｎ次元正則単体の頂点に半径ｒの球を描いたときの充填密度ｄn，外接球Ｒを描いたときの単体における球の被覆密度Ｄnのことです．単体的密度限界が最密球充填の上界，最疎球被覆の下界となります．
辺の長さが２の正単体の体積は
Ｖ＝√（１＋ｎ）／ｎ！・２^(n/2)
外接球の半径は
Ｒ＝（２ｎ／（ｎ＋１））^(1/2)
で与えられます．一方，外接球の半径が１である正単体の１辺の長さは
Ｒ＝｛２（１＋ｎ）／ｎ｝^(1/2)
その体積は
Ｖ＝√（１＋ｎ）／ｎ！・｛２（１＋ｎ）／ｎ｝^(n/2)
となります．
これらのことから，
Ｄn＝（２ｎ／（ｎ＋１））^(n/2)ｄn
の関係が成り立つことは容易に納得できるでしょう．したがって，ｎ＋１個の単位超球が辺の長さ
√（２（ｎ＋１）／ｎ）
の正単体を被覆するという状況では，
Ｄn ＝（ｎ＋１）２^(-n)ｎ！ｖnＦn(θ)／Ｖ
＝ｎ^(n/2)（ｎ！）^2／２^n（ｎ＋１）^((n-1)/2)・ｖnＦn(1/2arcsec(n)θ)
ｄn＝（２ｎ／（ｎ＋１））^(-n/2)Ｄn
＝（ｎ＋１）^(1/2)（ｎ！）^2／２^(3n/2)・ｖnＦn(1/2arcsec(n)θ)
となります．
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平面の場合は正三角形による平面充填が可能ですから，ｄ2，Ｄ2が簡単に求められ
ｄ2＝π／√１２＝０．９０６８・・・
Ｄ2＝２π／√２７＝１．２０９・・・
と計算できます．
３次元空間の場合は，ロジャースによって
ｄ3＝√１８（ａｒｃｃｏｓ（１／３）−π／３）＝０．７７９７・・・
Ｄ3＝９√３／２（ａｒｃｃｏｓ（１／３）−π／３）＝１．４３１・・・
と計算されています．
１９５８年，ロジャースは，四面体配置から空間充填率の上限を７７．９７％とはじき出しました．四面体配置は，３次元で相互に接するように球を配置するときの最大数となる配置ですが，全空間を充たすことはできないので，空間充填率の上限と考えられるわけです．
ここで，ａｒｃｃｏｓ（１／３）が出現するのは，ｎ次元正単体の二面角が
ｃｏｓδ＝１／ｎ
となることに基づいています．
二面角が重要なのはｎ＋１次元正多胞体（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn）が存在するための必要条件が
δｐn＜２π
で表されるからです．これは３次元正多面体の場合，１点のまわりの角錐の角の和が４直角未満という条件の一般化にあたるわけです．
正単体による空間充填形は，シュレーフリ記号を用いて，
（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn）＝（３，３，・・・，３，ｐ）
ｐ＝２π／δ＝２π／ａｒｃｃｏｓ（１／ｎ）
と書くことができるのですが，ｎ＝２以外のときにはδは４直角の整数分の１にはなりません．したがって，ｐも整数とはならないことが理解される（正三角形による平面充填形）．３次元以上の正単体は空間充填形にはなり得ないのです．
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一般のｄn，Ｄn（ｎ≧３）の計算にはシュレーフリ関数が必要となります．
Ｆ3（1/2arccos(1/3)）＝arccos(1/3)／π−１／３
それに対して，
Ｆ4（1/2arccos(1/4)）
は難しいのですが，
Ｆn+1（1/2arccos(1/n)）＝０
より，
Ｆ5（1/2arccos(1/4)）＝０
また，
Ｆ5(θ)＝Ｆ4(θ)-1/3Ｆ2(θ)+2/15
より，
Ｆ4（1/2arccos(1/4)）＝1/3(arccos(1/4)／π-2/5)
と計算されます．
このように，シュレーフリ関数を用いると，
ｄ3＝√１８（ａｒｃｃｏｓ（１／３）−π／３）＝０．７７９７・・・
Ｄ3＝９√３／２（ａｒｃｃｏｓ（１／３）−π／３）＝１．４３１・・・
の計算が可能となりますし，４次元空間では，
ｄ4＝３√５π（１／２ａｒｃｃｏｓ（１／４）−π／５）＝０．６４７・・・
Ｄ4＝１９２／（５√５）π（１／２ａｒｃｃｏｓ（１／４）−π／５）＝１．６５８・・・
となるのです．
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【３】漸近評価
［１］kissing numberの漸近評価
kissing numberの漸近評価については
１／ｂ＝ｓｅｃ２θ−ｎ＋１
とおくと，
Ｆn(θ)〜√{(1+nb)/2}･1/(n!e^(1/b))･(2e/πnb)^(n/2)
したがって，
Ｎ(φ)〜2^(1-n/2)√(πcos2φ)n^(3/2)/(e(sinφ)^(n-1))
φ＝π／６のとき
τn 〜 2^((n-1)/2)n^(3/2)√π/e
となります．
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［２］単体的密度限界の漸近挙動
２次元の最密格子状球充填，最疎格子状球被覆では，
ｄ2＝Δ2π／√１２，Ｄ2＝Θ2＝２π／√２７
であるが，３次元では
ｄ3＞Δ3＝π／√１８，Ｄ3＜Θ3＝５√５π／２４
となっている．４次元でも
ｄ4＞Δ4＝π^2／１６，Ｄ4＜Θ4＝２π^2／５√５
である．
単体的密度限界が最密球充填の上界，最疎球被覆の下界となっているのだが，高次元での漸近挙動はどのようになるのだろうか？
ミンコフスキーは，数の幾何学の理論を利用して，
Δ≧ζ(n)／２^(n-1)
を得た．この下界は，
Δ≧ｎζ(n)／｛ｅ（１−ｅ^(-n)）２^(n-1)｝
で改善されるという．
一方，上界は
Δ≦ｄn≦１
により，単体的密度限界ｄnで押さえられるが，すべてのｎに対して不等式
ｄn＜（ｎ＋２）／２・２^(-n/2)
が成り立つことが示されている．
ｎ→∞のときの漸近挙動としては，
ｄn 〜（ｎ＋１）！ｅ^(n/2-1)／√２Γ(1+n/2)（４ｎ）^(n/2)
〜ｎ／ｅ・２^(-n/2)
がある．この漸近公式によって，粗雑な（ｎ＋２）／２はｎ／ｅに改善されることになる．
また，
Ｄn＝｛２ｎ／（ｎ＋１）｝^(n/2)ｄn
において，ｎ→∞のとき，
｛２ｎ／（ｎ＋１）｝^(n/2)→ｅ^(-1/2)２^(n/2)
より
Ｄn 〜 ｎ／ｅ√ｅ
となることわかる．
なお，ｎ次元の凸体（単体を含む）による最密空間充填に対しては，
Σ(n,r)^2=(2n,n)
より，
２／(2n,n)≦Δ≦２^n／(2n,n)
すなわち，
2(n!)^2/(2n!)≦Δ≦2^n(n!)^2/(2n!)
となるが，その漸近挙動はスターリングの公式により，
下界 〜 ２√（πｎ）／４^n
上界 〜 √（πｎ）／２^n
で与えられる．
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