ｘ／ｔａｎｈｘ＝２ｘ／（ｅｘｐ(2x)−１）＋ｘ

は「ヒルツェブルフの等式」と呼ばれていて，左辺はＬ種数の母関数，右辺第１項がリーマン・ロッホ型定理で重要な役悪を果たすトッド種数の母関数を表していて，これらがひとつの等式で繋がっているというわけです．

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【１】ヒルツェブルフのＬ種数とポントリャーギン類

　母関数を考えるときには，収束するかどうかは問題にせず，多項式を考えるのですが，それを形式的ベキ級数と呼びます．ここでは，形式的ベキ級数の等式としてニュートンの恒等式を導き出したのと同様の方法，すなわち，αiを交点行列の固有値として，チャーン多項式

　　ｆ（ｔ）＝Π（１＋ｔαi）＝Σｃkｔ^k　　（ｃkはチャーン類，ｃ0＝１）

を考えれば，チャーン標数は

　　ｃｈ＝ｎ＋Σｓk／ｋ！　　　（ｓkはベキ乗和）

　　　　＝ｃｈ0＋ｃｈ1＋ｃｈ2＋ｃｈ3＋・・・

ただし，

　　ｃｈ0＝ｎ

　　ｃｈ1＝ｃ1

　　ｃｈ2＝１／２（ｃ1^2−２ｃ2）

　　ｃｈ3＝１／６（ｃ1^3−３ｃ1ｃ2＋３ｃ3）

　　ｃｈ4＝１／２４（ｃ1^4−４ｃ1^2ｃ2＋２ｃ2^2＋４ｃ1ｃ3−４ｃ4）

　　ｃｈn＝ｃｈn（ｃ1，・・・，ｃn）

とチャーン類で書き下すことができ，これがチャーン標数の定義となります．

（リーマン・ロッホの定理の一般形は，チャーン類とトッド類と呼ばれるものを使って書かれるが，ここでは，トッド類まで解説する余裕がない．トッド種数もチャーン類の有理係数多項式であり，

　　ｔｄ1＝１／２ｃ1

　　ｔｄ2＝１／１２（ｃ1^2＋ｃ2）

　　ｔｄ3＝１／２４ｃ1ｃ2）

　　ｔｄ4＝１／７２０（−ｃ1^4＋４ｃ1^2ｃ2＋３ｃ2^2＋ｃ1ｃ3−ｃ4）

で表される．）

　ポントリャーギン類については，

　　ｆ（ｔ）＝Π（１＋ｔｉαi）＝Σｐkｔ^k　　（ｐkはポントリャーギン類，ｐ0＝１）

で定義され，

　　１−ｐ1＋ｐ2−・・・±ｐn＝（１−ｃ1＋ｃ2−・・・±ｃn）（１＋ｃ1＋ｃ2＋・・・＋ｃn）

より，チャーン類とは

　　ｐk＝ｃk^2−２ｃk-1ｃk+1＋・・・＋２ｃ1ｃ2k-1−２ｃ2k

で関係しています．

　また，ベキ級数

　　ｇ（ｘ）＝√（ｘ）／ｔａｎｈ√（ｘ）

　　　　　　＝１＋１／３ｘ−１／４５ｘ^2＋・・・＋(-1)^(k-1)２^(2k)／（２ｋ！）・Ｂk・ｘ^k＋・・・

として，Πｇ（ｘ）がヒルツェブルフのＬ種数の母関数となっていますから，したがって，ヒルツェブルフのＬ種数は，

　　Ｌ＝Πｇ（ｘ）＝１＋Σ(-1)^kｓk

　　　＝ΣＬn＝Ｌ0＋Ｌ1＋Ｌ2＋Ｌ3＋Ｌ4＋・・・

　ポントリャーギン類を用いて書くと

　　Ｌ0＝１

　　Ｌ1＝１／３ｐ1

　　Ｌ2＝１／４５（７ｐ2−ｐ1^2）

　　Ｌ3＝１／９４５（６２ｐ3−１３ｐ2ｐ1＋２ｐ1^3）

　　Ｌ4＝１／１４１５７（３８１ｐ4−７１ｐ3ｐ1−１９ｐ2^2＋２２ｐ2ｐ1^2−３ｐ1^4）

　　Ｌn＝Ｌn（ｐ1，・・・，ｐn）

によって定義されます．

　多様体の符号数はポントリャーギン数の１次結合として表されることが示されていて，任意の多様体のＬ種数は整数ですから，ポントリャーギン数ｐ1［Ｍ^4］は３で割り切れるし，７ｐ2［Ｍ^8］−ｐ1^2［Ｍ^8］は４５で割り切れます．これを用いると，ヒルツェブルフのＬ多項式：Ｌn（ｐ1，・・・，ｐn）におけるｐnの係数が

　　２^(2k)（２^(2k-1)−１）／（２ｋ！）・Ｂk

になることが証明されます．

　こういうわけで，ヒルツェブルフの符号数定理と彼による一般化されたリーマン・ロッホの定理（リーマン・ロッホ・ヒルツェブルフの定理）の出現以来，トポロジストにとってベルヌーイ数とその数論的性質を知ることは大変有益なものになっているのです．

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［１］Ｌ種数

　　（√ｘ）／ｔａｎｈ（√ｘ）＝１＋ｘ／３−ｘ^2／４５＋２ｘ^3／９４５−・・・＋（−１）^n-1２^2nＢnｘ^n／（２ｎ）！＋・・・

　　Ｌ0＝１

　　Ｌ1＝１／３ｐ1

　　Ｌ2＝１／４５（７ｐ2−ｐ1^2）

　　Ｌ3＝１／９４５（６２ｐ3−１３ｐ2ｐ1＋２ｐ1^3）

　　Ｌ4＝１／１４１５７（３８１ｐ4−７１ｐ3ｐ1−１９ｐ2^2＋２２ｐ2ｐ1^2−３ｐ1^4）

　　Ｌn＝Ｌn（ｐ1，・・・，ｐn）

［２］Ａ種数

　　（√ｘ／２）／ｓｉｎｈ（√ｘ／２）＝１−ｘ／２４＋７ｘ^2／８９６＋３１ｘ^3／９６７６８０＋・・・

　　Ａ1＝−１／２４ｐ1

　　Ａ2＝１／５６７０（−４ｐ2＋７ｐ1^2）

　　Ａ3＝１／９６７６８０（１６ｐ3−４４ｐ2ｐ1＋３１ｐ1^3）

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