ｘ／ｔａｎｈｘ＝２ｘ／（ｅｘｐ(2x)−１）＋ｘ

は「ヒルツェブルフの等式」と呼ばれていて，左辺はＬ種数の母関数，右辺第１項がリーマン・ロッホ型定理で重要な役悪を果たすトッド種数の母関数を表していて，これらがひとつの等式で繋がっているというわけです．

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【１】球面の平行化可能性

　ｎ次元球面Ｓ^n上にｎ個の１次独立なベクトル場が存在するとき，Ｓ^nを平行化可能といいます．Ｓ^nが平行化可能な次元はＳ^1，Ｓ^3，Ｓ^7に限る１９５８年にケルベアとミルナーがそれぞれ独立に証明しています．

　実は偶数次元球面上には非特異ベクトル場さえ存在しません．したがって，平行化可能にもなり得ません．

　アダムスの公式は球面上の１次独立なベクトル場の最大個数σ（ｎ）を与える公式です．ｎ＋１＝（２ａ−１）２^(c+4d)，ｃ＝０，１，２，３とする．

　　σ（ｎ）＝２^c＋８ｄ−１

これより，ｎ＝１，３，７，また，σ（２ｍ）＝０が得られるというわけですが，これはフルヴィッツ・ラドン数にほかなりません．

　さらに，概平行性について説明すると，たとえば，２次元球面上には，必ず特異点があり，特異点のないベクトル場は存在しない（ホップの定理）のですが，２次元球面から円板をくり抜いてみることにします．そうすると，残りの部分も円板に変形でき，その上には１次独立な２本のベクトル場があるので，平行性をもつことになります．ｎ次元多様体Ｍ^nからｎ次元円板Ｄ^nをくり抜いた部分が平行性をもつことを概平行性をもつというのですが，歯切れの悪い説明で申し訳ありません．

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【２】ヒルツェブルフの符号数定理

　次に，ヒルツェブルフの符号数定理（指数定理）について紹介することにしましょう．

　Ｍを４の倍数次元の閉じた向きづけ可能な多様体（manifold）Ｍ^4kで，概平行性をもつと仮定する．Ｍの次元をｎとするとき，

　　ｎ＝８なら，Ｍの指数は７で割り切れる

　　ｎ＝１２なら，Ｍの指数は６２で割り切れる

　　ｎ＝１６なら，Ｍの指数は１２７で割り切れる

　　ｎ＝２０なら，Ｍの指数は１４６で割り切れる

　一般に，ｎ＝４ｋ（４の倍数）なら，Ｍの指数は

　　２^(2k)（２^(2k-1)−１）／（２ｋ！）・Ｂk　　　Ｂkはベルヌーイ数

を既約分数になおしたときの分子で割り切れるというのが，ヒルツェブルフの指数定理です．

　ここで，Ｂmはｍ番目のベルヌーイ数を指します．ベルヌーイ数の最初のいくつかを書くと，Ｂ1＝１／６，Ｂ2＝１／３０，Ｂ3＝１／４２，Ｂ4＝１／３０，Ｂ5＝５／６６，Ｂ6＝６９１／２７３０，Ｂ7＝７／６，Ｂ8＝３６１７／５１０，・・・

　多様体Ｍ^4kの符号数がそのＬ種数に等しいというのが，ヒルツェブルフの符号数定理ですが，実は，ここに掲げたヒルツェブルフの指数定理は，次項で述べるミルナーの定理の証明に都合のよい形に書き直してあります．

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【３】エキゾチックな球面（ミルナーの定理）

　半径が１の球面の公式は

　　１次元球面：x^2+y^2=1

　　２次元球面：x^2+y^2+z^2=1

　　３次元球面：x^2+y^2+z^2+w^2=1

という具合に変数を増やしていくだけですから，そこには本質的な違いは生じないような気がします．

　ところが，ある次元を境にして奇妙なことが起こることが知られています．奇妙なことというのは，米国の数学者ミルナーが発見した７次元球面（８次元球の表面）では，微分同型写像で互いに移ることができない孤立した微分構造が２８個もあるというものです（ミルナーの定理：１９５６年）．

　ミルナーはエキゾチックな球面Σ^7を構成し，それが通常の７次元球面Ｓ^7とは異なることを，ヒルツェブルフの指数定理を用いて証明しました．Ｍ^8の交点行列の指数は８であるが，微分同相であると仮定すると７で割り切れなければならず，背理法でミルナーの主張がいえるのです．

　通常の微分構造が球面を除いた２７個はエキゾチックな球面と呼ばれます．「７次元球面には８次元ユークリッド空間の単位球面とは異なる微分構造が入る」といっても，これだけでは何が何だか意味不明ですが，Σ^7とＳ^7は位相同型であっても微分同相にならない，すなわち，なめらかさの構造がまったく異なるというのです．

　しかし，微分構造とか微分同型写像とかの意味はよくはわからなくても，ミルナーの発見が衝撃的な事実であることはすぐに理解できます．われわれは，微分という言葉を何気なく使っていますが，微分が１種類とは限らないというのは直観に反していて実に驚くべきことであり，当時，ほとんどだれも予想し得なかったことだからです．ミルナーはこの業績でフィールズ賞を受けました．

　球面に許される微分構造の数を表にしてみると，

　　次元 微分構造　　次元 微分構造　　次元 微分構造

　　１ 1 ７ 28 13 3

　　２ 1 ８ 2 14 2

　　３ 1 ９ 8 15 16256

　　４ - 10 6 16 2

　　５ 1 11 992 17 16

　　６ 1 12 1 18 16

17 523264

　このように，微分構造に関しては次元に関する制約がでてくるので，７次元以上では本質的に異なっていると考えられるのです．トポロジーは曲げたり伸ばしたりの連続変形を施しても変わらないようなもの（＝位相不変量）を研究するのですが，空間の性質は，次元が変わるごとに劇的といってよいほど変わります．しかし，それは単にオイラー標数の話だけでなく，そこにはもっと深い幾何学的な事情があったのです．

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