｜ａ｜・｜ｂ｜＝｜ｃ｜，すなわち

（ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2）（ｂ1^2＋ｂ2^2＋・・・＋ｂn^2）＝（ｃ1＾2＋ｃ2^2＋・・・＋ｃn^2）

の恒等式はｎ＝１，２，４，８に対してだけ満たされるという驚くべき結果が１９世紀末，フルヴィッツにより証明されています（１８９８年）．

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【１】ラドンの定理

　１９２３年，ラドンはフルヴィッツの定理を次のように一般化しました．

ｎ＝（２ａ＋１）２^(c+4d)，ｃ＝０，１，２，３とする．

（ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａp^2）（ｂ1^2＋ｂ2^2＋・・・＋ｂn^2）＝（ｃ1＾2＋ｃ2^2＋・・・＋ｃn^2）が存在するための必要十分条件は

　　ｐ≦２^c＋８ｄ

が成り立つことである．ρ（ｎ）＝２^c＋８ｄはフルヴィッツ・ラドン数と呼ばれる．

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（Ｑ）（ａ＋ｂ）^nの二項展開の係数は，ｎが２^kの形であるとき，そのときに限り両端の１を除いてすべて偶数となることを証明せよ．

（Ａ）二項定理より

　　（１＋ｘ）^n＝Σ（ｎ，ｋ）ｘ^k

より，

　　（１＋ｘ）^n＝１＋ｘ^n　　（ｍｏｄ２）

となるすべての自然数ｎを求めればよい．

［１］ｎ＝２のとき，

　　（１＋ｘ）^2＝１＋２ｘ＋ｘ^2＝１＋ｘ^2　　（ｍｏｄ２）

が成り立つ．

［２］ｎ＝２^kのとき，

　　（１＋ｘ）^2^k＝１＋ｘ^2^k　　（ｍｏｄ２）

が成り立つと仮定すると，ｎ＝２^(k+1)のとき，

　　（１＋ｘ）^2^(k+1)＝（（１＋ｘ^2^k））^2＝１＋２ｘ^2^k＋ｘ^2^(k+1)＝１＋ｘ^2^(k+1)

が成り立つ．

　　（ｍｏｄ２）

　また，任意の自然数は

　　ｎ＝（２ａ＋１）２^b

と表せるから．ｎ＝２^kｍの場合も調べてみるが，

　　（１＋ｘ）^2^kｍ＝１＋ｘ^2^kｍ　　（ｍｏｄ２）

は成り立たないことがわかる．

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