（その１６）で，

［１］Ｎ＝Πｎ^k／（ｎ^k−１）　　ｎ＝２〜∞

ｋ＝２：Ｎ＝２

ｋ＝３：Ｎ＝３πｓｅｃｈ（π√３／２）

ｋ＝４：Ｎ＝４πｃｏｓｅｃｈ（π√３／２）

ｋ＝６：Ｎ＝６π^2（ｓｅｃｈ（π√３／２））^2

［２］Ｎ＝Π（ｎ^k＋１）／ｎ^k　　ｎ＝１〜∞

ｋ＝２：Ｎ＝ｓｉｎｈ（π）／π

ｋ＝３：Ｎ＝ｃｏｓｈ（π√３／２）／π

など，阪本ひろむ氏がｋが２０乗以下の場合も計算してくれたが，その際，三角関数，双曲三角関数のほかに，ガンマ関数が頻繁に出現した．

　　Π(1,∞)（１−α^2／ｎ^2）＝ｓｉｎ（πα）／πα

に対して

　　Π(1,∞)（１＋α^2／ｎ^2）＝ｓｉｎｈ（πα）／πα

であるから，双曲三角関数は三角関数の複素数版と考えることができる．

　また，オイラーは三角関数ｓｉｎｘの零点が０，±π，±２π，±３π，・・・であることから三角関数を因数分解して，無限乗積

　　ｓｉｎｘ＝ｘΠ（１−ｘ^2／ｎ^2π^2）

　　ｓｉｎ（πｘ）＝πｘΠ（１−ｘ^2／ｎ^2）＝π／Γ（ｘ）Γ（１−ｘ）

を得た．

　そして，ｓｉｎｘの無限乗積とベキ級数展開（テイラー展開）

　　ｓｉｎｘ＝ｘ−ｘ^3／３！＋ｘ^5／５！−ｘ^7／７！＋・・・

を用いて，偶数ゼータの値

　　ζ（２）＝π^2／６，ζ（４）＝π^4／９０，ζ（６）＝π^6／９４５，ζ（８）＝π^8／９４５０，・・・

を得たのであるが，

　　ｓｉｎ（πｘ）＝πｘΠ（１−ｘ^2／ｎ^2）＝π／Γ（ｘ）Γ（１−ｘ）

より，ガンマ関数も三角関数の１種といえるのである．→（その２０）（その２１）参照

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