残るは定数項の確認だけとなった．定数項は，第２項

−１／（ｍ＋１）ΣＢj（（ｍ＋１，ｊ−１）／１−（ｍ＋１，ｊ−２）／２＋（ｍ＋１，ｊ−３）／３＋・・・＋（−１）^j+1）／ｊ）

から生ずる．ｊ＝［０，ｍ］

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ｍ＝１→ｊ＝１→１／４

ｃ＝−１／４

ｍ＝２→ｊ＝１→１／６

ｍ＝２→ｊ＝２→１／１８（３−１／２）＝５／３６

ｃ＝−（１／６−５／３６）＝−１／３６

ｍ＝３→ｊ＝１→１／８

ｍ＝３→ｊ＝２→１／２４（４−１／２）＝７／４８

ｍ＝３→ｊ＝３→０

ｃ＝−（１／８−７／４８）＝１／４８

ｍ＝４→ｊ＝１→１／１０

ｍ＝４→ｊ＝２→１／３０（５−１／２）＝９／６０

ｍ＝４→ｊ＝３→０

ｍ＝４→ｊ＝４→−１／１５０（１０−１０／２＋５／３−１／４）＝１／３６

ｃ＝−（１／１０−９／６０＋１／３６）＝８／３６０

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　（その１８）の結果

［２］　　Σklogk〜(n^2/2+n/2+1/12)･logn-n^2/4+C

　　C=1/4-1/720+1/5040-1/10080+･･･

　　Ｃ＝１／１２−ζ’（−１）

［３］　　Σk^2logk〜(n^3/3+n^2/2+n/6)･logn-n^3/9+n/12+C

　　C=1/9-1/6+1/360-1/5040+1/10080-･･･

　　Ｃ＝−ζ’（−２）＝ζ（３）／４π^2

［４］　　Σk^3logk〜(n^4/4+n^3/2+n^2/4-1/120)･logn-n^4/16+n^2/12+C

　　C=1/16-1/12+1/120-1/5040+1/33600-･･･

　　ｃ＝−１１／７２０−ζ’（−３）

［５］　　Σk^4logk〜(n^5/5+n^4/2+n^2/3-n/30)･logn-n^5/25+n^3/12-n/30+C

　　C=1/25-1/12+1/30-1/1260+1/25200-･･･

　　Ｃ＝−ζ’（−４）＝３ζ（５）／４π^4

とズレがあるようだ．

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［まとめ］定数項こそ一致しなかったものの，Σｋ^mｌｏｇに対するオイラー・マクローリンの和公式とトッド作用素の式は合致した．また，トッド作用素の式ではｎ^kｌｏｇｎとｎ^kの係数を一般的な形で得ることができた．

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