第３項については，ｆ（ｘ）＝ｘ^m，ａ＝１，ｂ＝ｎとおき，

　　Ｔｄ（∂／∂ｈ）∫(a-h1,b+h2)ｆ（ｘ）ｄｘ｜h=0＝�狽�（ｋ）

の左辺を計算してみる．

　　Ｔｄ（∂／∂ｈ）∫(-h1,n+h2)ｘ^mｄｘ｜h=0

＝Ｔｄ（∂／∂ｈ）（（ｎ＋ｈ2）^m+1−（１−ｈ1）^m+1）／（ｍ＋１）｜h=0

＝１／（ｍ＋１）｛Ｔｄ（∂／∂ｈ）（ｎ＋ｈ2）^m+1｜h2=0−Ｔｄ（∂／∂ｈ）（１−ｈ1）^m+1）｜h1=0｝

　ここで，二項定理

　　（ｕ＋ｖ）^n＝ΣnＣrｕ^n-rｖ^r

を適用する．

　　（ｎ＋ｈ2）^m+1＝ΣnＣrｎ^m+1-rｈ2^r

　　Ｔｄ（∂／∂ξ）＝ΣＢj／ｊ！（∂／∂ξ）^j＝１＋１／２（∂／∂ξ）＋１／１２（∂／∂ξ）^2＋・・・

より，

　　Ｔｄ（∂／∂ｈ）（ｎ＋ｈ2）^m+1｜h2=0

＝ΣＢj／ｊ！（∂／∂ｈ2）^j（ｎ＋ｈ2）^m+1｜h2=0

＝ΣＢj（ｍ＋１，ｊ）ｎ^(m+1-j)

　また，

　　Ｔｄ（∂／∂ｈ）（１−ｈ1）^m+1｜h1=0

＝（−１）^m+1Ｂm+1＝Ｂm+1

　したがって，ベルヌーイのベキ和公式

　　Σｋ^m＝１／（ｍ＋１）・ΣＢj（ｍ＋１，ｊ）ｎ^(m+1-j)

が得られたことになる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝