１次魔方陣はあまりにもつまらない．２次魔方陣は存在しない．１から９までの数字を３×３マスにあてはめる３次魔方陣は回転や鏡映をのぞいてただ１種類である．１から１６までの数字を４×４マスにあてはめる４次魔方陣は回転や鏡映をのぞいて８８０種類ある．１から２５までの数字を５×５マスにあてはめる５次魔方陣は回転や鏡映をのぞいて２７５３０５２２４種類あることがわかっている．６次魔方陣は何個あるかわからないほどある．急速に複雑さが増していくのである．

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【１】有限確定値？

　有限確定値ではないのであるが，ドイツのトルンプは彼のウェブサイトで

　　６次魔方陣・・・１．７７５３９９×１０^19（１８００京）個径

　　７次魔方陣・・・３．７９８０９×１０^34個

　　８次魔方陣・・・５．２２２５×１０^54個

と，３０次魔方陣までの総個数の概数を載せているそうである．

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【２】２元１次形式による整数の表現とシルヴェスターの定理

　互いに素な２つの整数ａ1，ａ2が与えられたとき，非負整数が存在して

　　ｍ1ａ1＋ｍ2ａ2＝ｎ

が成り立つことは，硬貨の言葉に置き換えるとａ1円玉とａ2円玉を用いてｎ円が支払えることを意味する．どの額が支払えるか，支払えない最高額はいくらかという問題が考えられるところである（この問題はフロベニウスの硬貨交換問題と呼ばれる）．

　支払えない最高額をフロベニウス数と呼び，ｇ（ａ1，ａ2）で表される．

　　ｇ（ａ1，ａ2）＝ａ1ａ2−ａ1−ａ2＝（ａ1−１）（ａ2−１）−１

で与えられ，１と（ａ1−１）（ａ2−１）の間にある整数のちょうど半数が表現可能である．たとえば，ａ1＝４，ａ2＝７の場合，ｇ（ａ1，ａ2）＝１７で，表現不可能な整数の数は（ａ1−１）（ａ2−１）／２＝９となる．

　シルヴェスターの定理の証明は母関数

　　ｆ（ｚ）＝１／（１−ｚ^a1）（１−ｚ^a2）ｚ^n

の定数項と関連しているが，硬貨が３枚以上になると格段複雑になり，ｎ元１次形式に対する公式はほとんど成功しなかった．ｎ＝３の場合は，セルマー・ベイヤーによって明示的な形で解決されたが，ｎ≧４の場合には一般的な公式は知られていない．

　ｎ×ｎ正方行列で各行各列の和が同じになるものを半魔方陣Ｈn，主対角線の和も同じになるものを魔方陣Ｍnと呼ぶと，それぞれの魔方陣の数も母関数の定数項と関連している．魔方陣の数を数え上げる問題の研究は２０世紀になってからようやく始まったものである．

　　［参］ベック，ロビンズ「離散体積計算による組合せ数学入門」シュプリンガー・ジャパン

　トーラス上の魔方陣，立体魔方陣などについては

　　［参］大森清美「魔方陣の世界」日本評論社

を参照されたい．

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