（その４）ではｎ次元正単体の距離や角度を計算するのにｎ＋１次元空間を用いたが，体積を計算する場合はｎ次元空間内で求める必要がある．１辺の長さ√２のｎ次元正単体の体積を求めてみよう．

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　ｎ次元正単体の頂点の座標を

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

としよう．これらの頂点間距離は√２である．

　これらの座標が与えられたとき，残りの１点の座標は

　　（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）

とすることができる．他の頂点との距離は√２であるから，

　　（ｘ−１）^2＋（ｎ−１）ｘ^2＝２

すなわち，

　　ｎｘ^2−２ｘ−１＝０

を満たさなければならないことより，

　　ｘ＝｛１−√（１＋ｎ）｝／ｎ

が得られる．

　高さは（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）とｎ−１次元単体の重心（１／ｎ，・・・，１／ｎ）との距離であるから，

　　√（１＋１／ｎ）

したがって，漸化式

　　Ｖn＝Ｖn-1×√（１＋１／ｎ）／ｎ

が成り立ち，

　　Ｖn＝√（ｎ＋１）／ｎ！

が得られる．

　１辺の長さｘのｎ次元正単体の体積は

　　Ｖn＝√（ｎ＋１）／ｎ！・（ｘ／√２）^n

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