今回のコラムでは，「エレガントな証明」と「エレファントな証明」の例として，ｎ次元正単体の二面角を２つの方法で求めることにする．なお，エレガント（elegant）でない力まかせの表現はエレファント（elephant）と呼ばれる．これはエレガントとエレファントをかけたダジャレであるが，数学の表記法は無駄を省いて短く巧みに簡潔にをよしとしていて，数学形式のすばらしいところはエレファントな表現を排除できるところにある．

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【１】エレファントな解法

　ｎ次元正単体の頂点の座標を

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

としよう．これらの頂点間距離は√２である．

　これらの座標が与えられたとき，残りの１点の座標は

　　（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）

とすることができる．他の頂点との距離は√２であるから，

　　（ｘ−１）^2＋（ｎ−１）ｘ^2＝２

すなわち，

　　ｎｘ^2−２ｘ−１＝０

を満たさなければならないことより，

　　ｘ＝｛１−√（１＋ｎ）｝／ｎ

が得られる．

　ｎ＋１個の頂点：

　　Ｖ1（１，０，・・・，０）

　　Ｖ2（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　Ｖn（０，０，・・・，１）

　　Ｖn+1（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）

の中心座標（体心）は

　　（（ｘ＋１）／（ｎ＋１），・・・，（ｘ＋１）／（ｎ＋１））

底面

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

の重心（面心）は

　　（１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）

それに隣接する面

　　（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

の重心（面心）は

　　（ｘ／ｎ，（ｘ＋１）／ｎ，・・・，（ｘ＋１）／ｎ）

であるから，２つの連接する面心ベクトルは

　　（１／ｎ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１），１／ｎ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１），・・・，１／ｎ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１））

　　（ｘ／ｎ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１），（ｘ＋１）／ｎ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１），・・・，（ｘ＋１）／ｎ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１））

より，面心間距離は

　　ｃｏｓθ＝−１／ｎ

二面角はその補角であるから

　　ｃｏｓδ＝１／ｎ

と計算される．ｎ＝２以外のときは４直角の整数分の１にならないが，これは正三角形による平面充填形（３，６）に他ならない．

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【２】エレガントな解法

　ｎ次元正単体の境界多面体はｎ−１次元正単体，ｎ＋１次元正単体の境界多面体はｎ次元正単体である．正単体をｎ次元空間内で作ると一般に座標が無理数になる．そこで，ｎ次元正単体の代わりに，全体を１次元あげてｎ＋１次元正単体の境界多面体をとることにする．

　境界多面体はｎ＋１次元空間内のｎ＋１個の単位点（１つだけ座標が１で他が０である点）

　　Ｖ1（１，０，・・・，０，０）

　　Ｖ2（０，１，・・・，０，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｖn+1（０，０，・・・，０，１）

から生成される．これらの頂点間距離は√２である．また，中心座標は

　　ｃ（Ｓ）＝（１／（ｎ＋１），・・・，１／（ｎ＋１））

　また，隣接する２つのｎ−１次元胞Ａ，Ｂは

　　Ａ＝｛Ｖ1，Ｖ2，・・・，Ｖn｝

　　Ｂ＝｛Ｖ2，・・・，Ｖn，Ｖn+1｝

から生成されるものをとると，それぞれの中心は

　　ｃ（Ａ）＝（１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ，０）

　　ｃ（Ｂ）＝（０，１／ｎ，・・・，１／ｎ，１／ｎ）

　ｃ（Ｓ）からｃ（Ａ）に向かうベクトルをｕ，ｃ（Ｓ）からｃ（Ｂ）に向かうベクトルをｖとすると，

　　１／ｎ−１／（ｎ＋１）＝１／ｎ（ｎ＋１）

より，

　　ｕ＝（１／ｎ（ｎ＋１），・・・，１／ｎ（ｎ＋１），−１／（ｎ＋１））

　　ｖ＝（−１／（ｎ＋１），１／ｎ（ｎ＋１），・・・，１／ｎ（ｎ＋１））

　したがって，面心間距離（角度）は

　　ｃｏｓθ＝ｕ・ｖ／｜ｕ｜｜ｖ｜＝−１／ｎ

二面角はその補角であるから

　　ｃｏｓδ＝１／ｎ

と計算される．

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