半径１の半球を底面と平行な平面ｙ＝ａで切って，体積を２等分するにはどこで切ればよいか−−−「まんじゅう等分問題」を解いてみよう．
y=f(x)>0のグラフをｘ軸を中心に回転させてできる回転体の体積は
V[y]=π∫y^2dx
で与えられる．y=(1-x^2)^(1/2)とおくと
V[y]=π∫(1-x^2)dx
したがって，
π∫(0,a)(1-x^2)dx=π(3a-a^3)/3
が球全体の１／４になればよい．
π∫(0,a)(1-x^2)dx=π(3a-a^3)/3=π/3
a^3-3a+1=0
a=0.3472963553=2cos10
ついでに，半球の表面積を２等分するにはどこで切ればよいかの解も求めておこう．y=f(x)>0のグラフをｘ軸を中心に回転させてできる曲面の面積は
S[y]=2π∫y(1+(y')^2)^1/2dx
で与えられるから，y=(1-x^2)^(1/2)とおくと
S[y]=2π∫(0,a)dx=2πa=0.5/2･4π
より
a=0.5=sin30
と求められる．
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【１】ｎ次元単位超球の体積
ここでは，ｎ次元単位超球の体積を２通りの方法で求めてみます．
［１］半径ｒのｎ次元超球の体積はＶnｒ^n，一方，ｎ次元超球の中心を通る超平面による切り口は（ｎ−１）次元超球であり，その体積はＶn-1ｒ^(n-1)で表されます．
すなわち，ｎ次元単位超球のｘn＝０での切り口の体積はｖn-1，ｘn＝tでの切り口の体積は
ｖn-1(1-t^2)^((n-1)/2)
となります．冒頭のまんじゅう等分問題に掲げたように，ｎ＝３ではそれぞれ，
ｖ2＝π，ｖ[y]=π{(1-x^2)^(1/2)}^2
です．
これを-1≦t≦1で積分すればｖnを求めることができます．
ｖn／ｖn-1＝２∫(0,1)(1-t^2)^((n-1)/2)dt＝Ｂ(1/2，(n+1)/2)
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［２］ガウス積分
I=∫(-∞,∞)exp(-x^2)dx=√π
をｎ次元に拡張し，
I=∫(-∞,∞)exp(-x1^2+x2^2+･･･+xn^2)dx1dx2･･･dxn
を考えると∫(-∞,∞)exp(-x^2)dx=π^(1/2)のｎ重積分より，直ちに
I=π^(n/2)
を得ることができます．
ｎ次元ガウス積分を別の方法，すなわち，直交座標でなく極座標で求めてみましょう．ガウス積分の被積分関数を原点を中心とする半径ｒの球面上で積分し，次にｒ＝０からｒ＝∞まで積分すると，半径ｒの球面上で被積分関数は一定値exp(-r^2)をとり，表面積はｎＶnｒ^(n-1)ですから，
I=∫(0,∞)exp(-r^2)ｎＶnｒ^(n-1)dr
=ｎＶn∫(0,∞)r^(n-1)exp(-r^2)dr
z=r^2と変数変換するとdz=2rdrより
I=ｎＶn/2∫(0,∞)z^(n/2-1)exp(-z)dz
=Ｖnn/2Γ(n/2) n/2Γ(n/2)=Γ(n/2+1)
=ＶnΓ(n/2+1)
したがって，
Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)
を得ることができます．
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【２】境界付近への測度集中
ｎ次元単位超球の境界付近に幅δの球殻を設けて，ここに測度の８０％が含まれるようなδを求めてみることにします．すなわち
Ｐ｛ｘ＜Ｖn：１−δ≦ｒ≦δ｝＝０．８
半径１と１−δの間の薄皮部分の体積は
ｖn(1-(1-δ)^n)
ですから，δは
ｖn(1-(1-δ)^n)=0.8ｖn
と解くと簡単に求めることができて
δ=1-0.2^(1/n)
ｎ δ
2 .552786
3 .415196
4 .33126
5 .27522
6 .235275
7 .205403
8 .182235
9 .163749
10 .14866
20 .0773191
30 .0522342
40 .0394372
50 .0316762
60 .0264674
70 .0227296
80 .019917
90 .0177237
100 .0159655
この計算が示していることは，（直観に反して）ｎが大きいとき超球の体積Ｖnの大部分はその境界付近に集中するというものです．いわゆる薄皮まんじゅう状態なのですが，ｎ＝２，３などの場合から類推すると非常に奇妙に感じられます．
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【３】体積と表面積
球に相当するｎ次元の図形を超球と呼びます．ｎ次元単位超球{x1^2+x2^2+･･･+xn^2≦1}の体積をＶnとすると，ｎが小さいとき，Ｖ1=2（直径），Ｖ2=π（面積），Ｖ3=4π/3（体積）となることはご存知でしょう．ｎ次元単位球はどんなに次元が高くても，長さが２より大きな線分を含むことはできません．
ｎ次元単位超球の体積Ｖnとすると，半径ｒのｎ次元球の体積はＶnｒ^n，表面積は球殻部分の極限値（δ→０）と考えられ
ｄ／ｄｒ（ｖnｒ^n）＝ｎＶnｒ^(n-1)
となりますから，ｎ次元単位超球の表面積を表面積Ｓn-1とすると，
Ｓn-1＝ｎＶn
ｎ次元単位超球の体積Ｖnを求めてみると，
Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)
を得ることができます．また，Γ(m+1)=m!より，この結果は，形式的に
Ｖn=π^(n/2)/(n/2)!
と書くことができます．
Ｖn-1がわかれば，Ｖnは漸化式：
Ｖn/Ｖn-1=Γ(1/2)Γ{(n+1)/2}/Γ(n/2+1)=B(1/2,(n+1)/2)
によって求めることができますが，この計算は面倒ですから，Ｖn-2との漸化式
Ｖn/Ｖn-2=2π/n
を用いると任意のｎに対して
ｎが奇数であれば，Ｖn=2(2π)^((n-1)/2)/n!!
ｎが偶数であれば，Ｖn=(2π)^(n/2)/n!!
とも書けることも理解されます．
係数はπ^mの有理数倍で，１次元から６次元までを具体的に書けば，
Ｖn＝２，π，４π／３，π^2／２，８π^2／１５，π^3／６
という具合に，πのべき乗は偶数次元になるたびに１つあがります．
そして，ｎ→∞のとき，
Ｖn/Ｖn-2=2π/n→０
Ｓn-1/Ｓn-3=nＶn/(n-2)Ｖn-2=2π/(n-2)→０
ですから，不思議なことに，単位球面の体積や表面積はｎ→∞のとき０に収束するのです．
しかもそれは直径を１辺とする超立方体と比べて無視できるほど小さくなります．ｎ次元単位超立方体[-1,1]^n（体積２^n）において，単位超球が占める比率は，ｎ＝２であればπ／４(79%)であるが，ｎ＝５のときは16%に下落し，ｎ＝１０となると0.25%になることも理解されます．高次元において，超立方体内に一様分布する標本を考えるとき，低次元の場合とは対照的に大部分のデータは超球外に位置することになります．
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ｎが整数のとき，実際にＶnの値を計算してみると，１次元から１４次元までの具体的数字は次の通りです．
ｎ Ｖn ｎ Ｖn ｎ Ｖn
１ 2 ６ 5.168 11 1.884
２ 3.142 ７ 4.725 12 1.335
３ 4.189 ８ 4.059 13 0.911
４ 4.934 ９ 3.299 14 0.599
５ 5.264 10 2.550
このように，超球の体積はｎ＝５のとき最大８π^2／１５＝５．２６３７・・・となり，以後は次元とともに急激に減少します．（次元を整数に限らなければ５．２５６次元で最大となり，そのときの体積は5.277･･･である．）幾何学では５，６次元を境にして本質的に様子が変わっていることが少なくないのですが，このことはその原因の一端をほのめかしていると考えられます．
超球の体積はｎ＝５のとき最大（８π^2／１５）であり，それに対して表面積ｎｖnが最大（１６π^3／１５）になるのはｎ＝７のときです．どちらもｎが大きくなると急激に０に近づきます．
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