ベルヌーイ数の母関数の変数ｘを微分作用素（∂／∂ξ）に置き換えた微分作用素

　　Ｔｄ（∂／∂ξ）＝１＋１／２（∂／∂ξ）＋１／１２（∂／∂ξ）^2＋・・・

をトッド作用素という．

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【１】ヒルツェブルフのＬ種数とポントリャーギン類

　突飛な連想に思われるかも知れませんが，ここで，基本対称式におけるニュートンの公式・ジラールの公式について簡単に述べておきたいと思います．ニュートンの恒等式は，基本対称式とベキ和を結びつけているのですが，特性類の説明を見通しよく行うためにも必要になってくるのです．

　一般のｎ次方程式：

　　ｆ（ｘ）＝ａ0ｘ^n＋ａ1ｘ^(n-1)＋・・・＋ａn＝ａ0Π（ｘ−αi）＝０

の根と係数の関係は，

　　α1＋・・・＋αn＝−ａ1／ａ0

　　α1α2＋・・・＋αn-1αn＝ａ2／ａ0

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　α1α2α3・・・αn＝（−１）^nａn／ａ0

（ジラール）ですが，対称式の基本定理より，ｎ変数のどんな対称式も基本対称式を用いて表すことができます．たとえば，２変数の場合，

　　α1^2＋α2^2＝（α1＋α2）^2−２α1α2

　　α1^3＋α2^3＝（α1＋α2）^3−３（α1＋α2）α1α2

　　α1^2α2＋α1α2^2＝（α1＋α2）α1α2

など．

　そこで，ｎ変数対称式：

　　ｓj＝α1^j＋α2^j＋・・・＋αn^j

を基本対称式：

　　σ1＝α1＋・・・＋αn

　　σ2＝α1α2＋・・・＋αn-1αn

　　σ3＝α1α2α3＋・・・＋αn-2αn-1αn

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　σn＝α1α2α3・・・αn

を用いて表してみることにしましょう．

　余分な変数ｔを導入して，

　ｆ（ｔ）＝Π（１＋ｔαi）＝１＋σ1ｔ＋σ2ｔ^2＋・・・＋σnｔ^n

とおくと，

　f'(t)/f(t)=d/dtlogf(t)=Σαi／（１＋ｔαi）=ΣΣ(-1)^kαi^(k+1)t^k

=Σ(-1)^kｓ(k+1)t^k

　ゆえに，

　　f'(t)=f(t)Σ(-1)^kｓ(k+1)t^k

となり，

　　σ1＋２σ2ｔ＋・・・＋ｎσnｔ^(n-1)

＝（１＋σ1ｔ＋σ2ｔ^2＋・・・＋σnｔ^n）（ｓ1−ｓ2ｔ＋ｓ3ｔ^2−・・・）

　両辺の係数を比較することによって，順次

　　ｓ1＝σ1

　　ｓ2＝σ1ｓ1−２σ2＝σ1^2−２σ2

　　ｓ3＝σ1ｓ2−σ2ｓ1＋３σ3＝σ1^3−３σ1σ2＋３σ3

　　ｓ4＝・・・＝σ1^4−４σ1^2σ2＋２σ2^2＋４σ1σ3−４σ4

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｓ(k+1)＝σ1ｓk−σ2ｓ(k-1)＋・・・＋(-1)^(k-1)σkｓ1＋(-1)^k（ｋ＋１）σ(k+1)＝ｆ（σ1，・・・，σ(k+1)）

が得られます（ニュートンの公式）．

　また，ｔ＝１とおくことにより，

　　(-1)^kｓk／ｋ＝Σ(-1)^(i1+･･･+ik)（i1+･･･+ik-1)!/i1!･･･ik!σ^i1･･･σ^ik　　　i1+2i2･･･+kik=k

が証明されます（ジラールの公式）．

　ニュートンの恒等式から

　　『α1，α2，・・・，αnの基本対称式は，累乗和：α1^j＋α2^j＋・・・＋αn^jの有理数を係数とする整式で表される』

という結果が導き出されます．不思議なことに，何次の累乗和であっても方程式の係数を使って表せるのです．

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　母関数を考えるときには，収束するかどうかは問題にせず，多項式を考えるのですが，それを形式的ベキ級数と呼びます．ここでは，形式的ベキ級数の等式としてニュートンの恒等式を導き出したのですが，同様の方法，すなわち，αiを交点行列の固有値として，チャーン多項式

　　ｆ（ｔ）＝Π（１＋ｔαi）＝Σｃkｔ^k　　（ｃkはチャーン類，ｃ0＝１）

を考えれば，チャーン標数は

　　ｃｈ＝ｎ＋Σｓk／ｋ！　　　（ｓkはベキ乗和）

　　　　＝ｃｈ0＋ｃｈ1＋ｃｈ2＋ｃｈ3＋・・・

ただし，

　　ｃｈ0＝ｎ

　　ｃｈ1＝ｃ1

　　ｃｈ2＝１／２（ｃ1^2−２ｃ2）

　　ｃｈ3＝１／６（ｃ1^3−３ｃ1ｃ2＋３ｃ3）

　　ｃｈ4＝１／２４（ｃ1^4−４ｃ1^2ｃ2＋２ｃ2^2＋４ｃ1ｃ3−４ｃ4）

　　ｃｈn＝ｃｈn（ｃ1，・・・，ｃn）

とチャーン類で書き下すことができ，これがチャーン標数の定義となります．

（リーマン・ロッホの定理の一般形は，チャーン類とトッド類と呼ばれるものを使って書かれるが，ここでは，トッド類まで解説する余裕がない．トッド種数もチャーン類の有理係数多項式であり，

　　ｔｄ1＝１／２ｃ1

　　ｔｄ2＝１／１２（ｃ1^2＋ｃ2）

　　ｔｄ3＝１／２４ｃ1ｃ2）

　　ｔｄ4＝１／７２０（−ｃ1^4＋４ｃ1^2ｃ2＋３ｃ2^2＋ｃ1ｃ3−ｃ4）

で表される．）

　ポントリャーギン類については，

　　ｆ（ｔ）＝Π（１＋ｔｉαi）＝Σｐkｔ^k　　（ｐkはポントリャーギン類，ｐ0＝１）

で定義され，

　　１−ｐ1＋ｐ2−・・・±ｐn＝（１−ｃ1＋ｃ2−・・・±ｃn）（１＋ｃ1＋ｃ2＋・・・＋ｃn）

より，チャーン類とは

　　ｐk＝ｃk^2−２ｃk-1ｃk+1＋・・・＋２ｃ1ｃ2k-1−２ｃ2k

で関係しています．

　また，ベキ級数

　　ｇ（ｘ）＝√（ｘ）／ｔａｎｈ√（ｘ）

　　　　　　＝１＋１／３ｘ−１／４５ｘ^2＋・・・＋(-1)^(k-1)２^(2k)／（２ｋ！）・Ｂk・ｘ^k＋・・・

として，Πｇ（ｘ）がヒルツェブルフのＬ種数の母関数となっていますから，したがって，ヒルツェブルフのＬ種数は，

　　Ｌ＝Πｇ（ｘ）＝１＋Σ(-1)^kｓk

　　　＝ΣＬn＝Ｌ0＋Ｌ1＋Ｌ2＋Ｌ3＋Ｌ4＋・・・

　ポントリャーギン類を用いて書くと

　　Ｌ0＝１

　　Ｌ1＝１／３ｐ1

　　Ｌ2＝１／４５（７ｐ2−ｐ1^2）

　　Ｌ3＝１／９４５（６２ｐ3−１３ｐ2ｐ1＋２ｐ1^3）

　　Ｌ4＝１／１４１５７（３８１ｐ4−７１ｐ3ｐ1−１９ｐ2^2＋２２ｐ2ｐ1^2−３ｐ1^4）

　　Ｌn＝Ｌn（ｐ1，・・・，ｐn）

によって定義されます．

　多様体の符号数はポントリャーギン数の１次結合として表されることが示されていて，任意の多様体のＬ種数は整数ですから，ポントリャーギン数ｐ1［Ｍ^4］は３で割り切れるし，７ｐ2［Ｍ^8］−ｐ1^2［Ｍ^8］は４５で割り切れます．これを用いると，ヒルツェブルフのＬ多項式：Ｌn（ｐ1，・・・，ｐn）におけるｐnの係数が

　　２^(2k)（２^(2k-1)−１）／（２ｋ！）・Ｂk

になることが証明されます．

　こういうわけで，ヒルツェブルフの符号数定理と彼による一般化されたリーマン・ロッホの定理（リーマン・ロッホ・ヒルツェブルフの定理）の出現以来，トポロジストにとってベルヌーイ数とその数論的性質を知ることは大変有益なものになっているのです．

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