ヤング図形の標準盤の個数ｆは

　　ｆ＝ｎ！／Πｈ（ｉ，ｊ）

で与えられる．

　たとえば，（４１）の場合，

　　ｎ＝４＋１　→　ｎ！＝１２０

　　Πｈ（ｉ，ｊ）＝５・３・２・１・１＝３０

　　ｆ＝ｎ！／Πｈ（ｉ，ｊ）＝４

である．

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　ここでは（ｍｍ）の場合を考える．たとえば（３３）は

　　□□□

　　□□□

であるが，

　　ｎ＝３＋３　→　ｎ！＝７２０

　　Πｈ（ｉ，ｊ）＝４・３・２・３・２・１＝１４４

　　ｆ＝ｎ！／Πｈ（ｉ，ｊ）＝５

となる．

　実は（ｍｍ）の標準盤の個数は，カタラン数

　　mＣm／（ｍ＋１）

で与えられるのである．

　　Ｃn＝2nＣn−2nＣn-1＝１，２，５，１４，４２，・・・

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　同等に，ヤング図形（ｋｎ，ｎ）の標準盤の個数は，

　　Ｃ（ｋｎ，ｎ）＝(k+1)nＣn／（ｋｎ＋１）

で与えられる．

　また，ヤング図形（ｎ，ｎ，ｎ）の標準盤の個数は，

　　3nＣn・2nＣn・nＣn／n+2Ｃ2・n+1Ｃ1・nＣ0通り（３次元カタラン数）

同様に，（ｎ，ｎ，・・・，ｎ）の標準盤の個数は，

　　mnＣn・・・3nＣn・2nＣn・3nＣn／n+m-1Ｃm-1・・・n+2Ｃ2・n+1Ｃ1・nＣ0（ｍ次元カタラン数）に等しい．

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