ベルヌーイ数列｛Ｂn ｝の指数型母関数は

　　ｘ／（ｅｘｐ（ｘ）−１）

で与えられます．すなわち，ベルヌーイ数は

ｘ／（ｅｘｐ（ｘ）−１）

＝Ｂ0/0!＋Ｂ1／１！ｘ＋Ｂ2 ／２！ｘ^2＋Ｂ3／３！ｘ^3＋・・・

＝ΣＢnｘ^n／ｎ！

で定義される有理数で，係数Ｂn はベルヌーイ数と呼ばれます．

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【１】トッド作用素

　ベルヌーイ数の母関数の変数ｘを微分作用素（∂／∂ξ）に置き換えた微分作用素

　　Ｔｄ（∂／∂ξ）＝ΣＢj／ｊ！（∂／∂ξ）^j＝１＋１／２（∂／∂ξ）＋１／１２（∂／∂ξ）^2＋・・・

をトッド作用素という．

　このとき，

　　Ｔｄ（∂／∂ξ）ｅｘｐ（ξｔ）｜ξ=0＝ｔ／（１−ｅｘｐ（−ｔ））

が成り立つ．

　また，ｈ＝（ｈ1，ｈ2）に対し，

　　Ｔｄ（∂／∂ｈ）＝Ｔｄ（∂／∂ｈ1）Ｔｄ（∂／∂ｈ2）

と定めると，ｘの多項式ｆ（ｘ），ａ，ｂを整数とすると

　　Ｔｄ（∂／∂ｈ）∫(a-h1,b+h2)ｆ（ｘ）ｄｘ｜h=0＝�狽�（ｋ）

が成り立つ．

　これは多項式関数ｆ（ｘ）の区間［ａ，ｂ］における格子点和�狽�（ｋ）は，定積分∫(a-h1,b+h2)ｆ（ｘ）ｄｘのｈ＝（ｈ1，ｈ2）に関する変動で表した式で与えられることを意味している．

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【２】ベルヌーイのベキ和公式

　ｆ（ｘ）＝Σｘ^s，ａ＝０，ｂ＝ｎとして，前述の定理を適用すると

　Σｋ^s は

S(s,n)

=1/(s+1){B0n^(s+1)+(s+1,1)B1n^s+･･･+(s+1,s)Bsn}

=1/(s+1)Σ(K=0-s)(s+1,k)Ｂk(n+1)^(s+1-k)

とＢn を含む式で表すことができることを証明することができます．

　　［参］枡田幹也，福川由貴子「格子から見える数学」日本評論社

をご参照願います．

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