■オイラー・マクローリンの和公式とトッド作用素(その3)

 ベルヌーイ数Bnはゼータ関数

  ζ(2s)=Σ1/n^2s=1/1^2s+1/2^2s+1/3^2s+1/4^2s+・・・

の計算にも重要な役割を果たしているのである.

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 具体的に係数Bn を求めてみましょう.有名なベルヌーイ数列{Bn }の指数型母関数はx/(exp(x)−1)で与えられます.すなわち,ベルヌーイ数は

x/(exp(x)−1)

=B0/0!+B1/1!x+B2 /2!x^2+B3/3!x^3+・・・

=ΣBnx^n/n!

で定義される有理数で,係数Bn はベルヌーイ数と呼ばれます.

 容易にわかるように

  lim(x→0)x/(exp(x)−1)=1

が成立します.

 また,定義より,ベルヌーイ級数はべき級数

(exp(x)−1)/x=1+1/2!x1+1/3!x^2+1/4!x^3+・・・

の反転級数と考えることができます.

exp(x)=1+1/1!x+1/2!x^2+・・・

ですから

x/(exp(x)−1)

=x/(x+x^2/2!+x^3/3!+・・・)

=1/(1+x/2!+x^2/3!+・・・)

=1-(1+x/2!+x^2/3!+・・・)+(1+x/2!+x^2/3!+・・・)^2-・・・

=1-1/2x+1/6x^2-1/30x^4+・・・

 これより,B0=1,B1 =−1/2で

x/(exp(x)−1)−B1 /1!x=x/2・(exp(x)+1)/(exp(x)−1)

は偶関数ですから,奇数項は第一項以外は0で,偶数項は

  B2 =1/6,B4 =−1/30,B6 =1/42,B8 =−1/30,B10=5/66,B12=−691/2730,B14=7/6,B16=−3617/510,B18=43867/798

で,あとは分子が急速に大きくなり,たとえば,

  B32=−7709321041217/510,

  B34=2577687858367/6です.

分母は必ず6で割り切れます.

 ベルヌーイ数については,再帰公式

  (B+1)^n-B^n=0

が成り立ちます.ただし,2項展開してからB^nをBnで置き換えることにします.

 ベルヌーイ数は数多くの魅惑的な整数論的特性をもっていて,ベキ和の公式だけでなく正則素数の判定などにも顔を出す興味深い数となっています.

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