ファウルハーバーの定理は，ピタゴラスの定理の拡張である．各辺（ａ，ｂ，ｃ）と空間対角線ｄの直方体では

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝ｄ^2

が成り立つが，ファウルハーバーは直角三角形の辺の長さの２乗を，直角三角錐の面の面積の２乗に拡張した．

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【１】ファウルハーバーの定理

　辺（ｐ，ｑ，ｒ）が１点において直交する四面体において，３つの面の面積をａ，ｂ，ｃ，斜面の面積をｄとすると

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝ｄ^2

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【２】ファウルハーバーの定理の任意の次元ｎへの一般化

　ｎ＋１個のファセットをもつｎ次元直角錐体において，ｎ個のファセットのｎ−１次元体積の２乗和は，斜ファセットの体積の２乗に等しい．

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【３】ファウルハーバーの多項式

　一方，ファウルハーバーの多項式はベルヌーイのベキ和公式と関係している．ベキ和の公式

　　S(s,n)=Σｋ^s ＝１^s ＋２^s ＋３^s ＋・・・＋ｎ^s

は

Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）／２＝Ｎ

Σｋ^2 ＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６

Σｋ^3 ＝ｎ^2 （ｎ＋１）^2 ／４

Σｋ^4 ＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^2 ＋３ｎ−１）／３０

Σｋ^5 ＝ｎ^2 （ｎ＋１）^2 （２ｎ^2 ＋２ｎ−１）／１２

Σｋ^6 ＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^4 ＋６ｎ^3 −３ｎ＋１）／４２

Σｋ^7 ＝ｎ^2 （ｎ＋１）^2 （３ｎ^4 ＋６ｎ^3 −ｎ^2 −４ｎ＋２）／２４

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ですから，左辺は，ｓが偶数のときｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（多項式）／（整数），１以外の奇数のときｎ2 （ｎ＋１）^2 （多項式）／（整数）と書くことができます．また，Σｋ^s は（ｓ＋１）次の多項式になり，最高次数の係数は１／（ｓ＋１）です．

　ベルヌーイはこの式の列を見て，次のようなパターンを発見しました．それを一般式の形で書くと，Σｋ^s は

S(s,n)

=1/(s+1){B0n^(s+1)+(s+1,1)B1n^s+･･･+(s+1,s)Bsn}

=1/(s+1)Σ(K=0-s)(s+1,k)Ｂk(n+1)^(s+1-k)

とＢn を含む式で表すことができます．

　ｓが奇数のとき，S(s,n)は

　　Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）／２＝Ｎ

の多項式（ファウルハーバーの多項式）であることが知られています．

Σｋ^3 ＝ｎ^2 （ｎ＋１）^2 ／４＝Ｎ^2

Σｋ^5 ＝ｎ^2 （ｎ＋１）^2 （２ｎ^2 ＋２ｎ−１）／１２＝（４Ｎ^3−Ｎ^2）／３

Σｋ^7 ＝ｎ^2 （ｎ＋１）^2 （３ｎ^4 ＋６ｎ^3 −ｎ^2 −４ｎ＋２）／２４＝（６Ｎ^4−４Ｎ^3＋Ｎ^2）／３

　また，ｓが偶数のとき，S(s,n)はＮ多項式と（２ｎ＋１）の積となることが知られています．

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