ｐを素数，ｑを２以上の非素数，ｒを２以上の自然数とする．このとき，全素数にわたる積

　　Ｐ＝Πｐ^4／（ｐ^4−１）＝ζ（４）＝π^4／９０

であるが，

　　Ｑ＝Πｑ^4／（ｑ^4−１）＝？

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　まず，Ｑ＞１は自然に浮かぶところであるが，

　　Ｐ・Ｑ＝Πｎ^4／（ｎ^4−１），ｎ≧２

　一方，ウォリスの公式を２乗すると

　　（２・２／１・３）^2（４・４／３・５）^2（６・６／５・７）^2・・・（２ｎ・２ｎ／（２ｎ−１）・（２ｎ＋１））^2・・・＝（π／２）^2

＝Πｎ^4／（ｎ^2−１／４）^2，ｎ≧１

＝（４／３）^2Πｎ^4／（ｎ^2−１／４）^2，ｎ≧２

したがって，

　　Πｎ^4／（ｎ^2−１／４）^2＝（π／２）^2（３／４）^2

　また，ｎ≧２のとき

　　（ｎ^4−１）−（ｎ^2−１／４）^2＝ｎ^2／２−１７／１６＞０

より

　　Ｐ・Ｑ＝Πｎ^4／（ｎ^4−１）＜Πｎ^4／（ｎ^2−１／４）^2＝（π／２）^2（３／４）^2

より，

　　Ｑ＜（π／２）^2（３／４）^2／Ｐ＝８１０／６４π^2

となって，上界

　　１＜Πｑ^4／（ｑ^4−１）＜８１０／６４π^2

が得られる．

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