コラム
「ポアソン配置とワイブル分布（雑然か整然か）」
「最近接距離分布（ウィグナー分布）」
では，直線上，平面上または空間中に無作為に配置（ポアソン配置）した点の集団があるとして，ある点からその最も近い点（最近接点：nearest neighbor）に至るまでの距離ｒの分布を考えた．その結果，任意の次元における最近接点間の距離の分布はワイブル分布になることが一般的な形で誘導された．
それでは，ｎ−１次元球面Ｓn-1上にポアソン配置した点の集団があるとき，最近接距離分布はどうなるのだろうか？ 今回のコラムでは球面上の最近接球面距離分布について導出を試みたい．
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【１】球帽の面積
Ｓn-1球面上の２点ｘ，ｙに対して，θ＝∠ｘｏｙを球面距離という．また，球面上の円を球帽という．ここでは点Ｐからの球面距離がθ（０≦θ≦π）であるような球面上の点全体の集合を考えるが，球面半径θの球帽の面積をＣ（θ）で表すことにする．
球面上の最近接球面距離分布を導出するために，まず最初に球帽の面積Ｃ（θ）を求めてみることにする．
(1)ｎ＝２のとき，Ｃ（θ）＝２θ
(2)ｎ＝３のとき，y=f(x)>0のグラフをｘ軸を中心に回転させてできる曲面の面積は
S[y]=2π∫y(1+(y')^2)^1/2dx
で与えられる．y=(1-x^2)^(1/2)とおくと
C[θ]=2π∫(cosθ,1)dx=2π(1-cosθ)
(3)ｎ＞３のとき
ｎ＞３は簡単には求められないが，x=(x1,x2,･･･,xn)を単位球面Ｓn-1上で一様分布する点とすると，xn^2の分布はベータ分布Beta(1/2,(n-1)/2)となることが証明されている．→コラム「高次元のパラドックスとスターリングの公式（その２）」参照
そこで，Ｓn-1球面の極（０，・・・，０，１）の周りに球面半径θの球帽を設けて，ここに含まれる確率を求めてみることにする．すなわち
Ｐ｛ｘ＜Ｓn-1：cosθ≦ｘn≦１｝
＝1/2Ｐ｛ｘ＜Ｓn-1：(cosθ)^2≦ｘn^2≦１｝
＝1/2（１−Ｐ｛ｘ＜Ｓn-1：０≦ｘn^2≦(cosθ)^2｝）
ベータ分布の確率密度関数は
ｆ（ｘ）＝ｘ^(p-1)（１−ｘ）^(q-1)／Β（ｐ，ｑ）
であるが，その分布関数は不完全ベータ関数と密接に関係していて，ガウスの超幾何関数2Ｆ1を使って以下のように表現される．
Ｆ（ｘ）＝１／ｐｘ^p2Ｆ1(p,1-q,p+1,x)／Β（ｐ，ｑ）
＝１／ｐｘ^p（１−ｘ）^q2Ｆ1(p+q,1,p+1,x)／Β（ｐ，ｑ）
Ｐ｛ｘ＜Ｓn-1：０≦ｘn^2≦(cosθ)^2｝＝Ｆ（(cosθ)^2）
であるから
Ｃ（θ）＝（Ｓn-1の面積）×（１−Ｆ（(cosθ)^2））／２
と求められる．
球に相当するｎ次元の図形を超球と呼ぶ．ｎ次元単位超球{x1^2+x2^2+･･･+xn^2≦1}の体積をｖnとすると，単位超球の表面積ｓn-1はｎｖnとなる．ただし，
ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)
ｎ Ｖn ｎ Ｖn ｎ Ｖn
１ 2 ６ 5.168 11 1.884
２ 3.142 ７ 4.725 12 1.335
３ 4.189 ８ 4.059 13 0.911
４ 4.934 ９ 3.299 14 0.599
５ 5.264 10 2.550
なお，超球の体積はｎ＝５のとき最大であり，ｎが大きくなると急激に０に近づく．しかもそれは直径を１辺とする超立方体と比べて無視できるほど小さくなる．ｎｖnが最大になるのはｎ＝７のときである（１６π^3／１５）．
したがって，
Ｃ（θ）＝ｎｖn（１−Ｆ（(cosθ)^2））／２
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
p=1/2,q=(n-1)/2であるから，ベータ分布の確率密度関数と分布関数は
ｆ（ｘ）＝ｘ^(-1/2)（１−ｘ）^((n-3)/2)／Β（1/2，(n-1)/2）
Ｆ（ｘ）＝２ｘ^(1/2)（１−ｘ）^((n-1)/2)q2Ｆ1(n/2,1,3/2,x)／Β（1/2，(n-1)/2）
とくに
(1)ｎ＝２のとき，ベータ分布は逆正弦分布
f(x)=1/π･{x(1-x)}^(1/2)
で，Ｕ字型の形状をとる．対応する累積分布関数は
F(x)=2/π･arcsin(x^(1/2))
となるから，
Ｆ（(cosθ)^2）＝１−２θ／π
より
Ｃ（θ）＝２θ
(2)ｎ＝３のとき，ベータ分布はベキ乗分布
f(x)=1/2･x^(-1/2)
でＪ字型分布となる．分布関数は
F(x)=x^(1/2)
であるから
Ｆ（(cosθ)^2）＝ｃｏｓθ
より
Ｃ（θ）＝２π（１−ｃｏｓθ）
となって前述の式に一致する．
(3)ｎ＞３のとき，Ｃ（θ）を簡潔な形に表すことはできない．
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【２】球面距離の分布関数と確率密度関数
Ｃ（θ）／（Ｓn-1の面積）＝Ｃ（θ）／ｎｖnはθの分布関数であるから，θで微分すると，球面距離θの確率密度関数が得られる．
(1)ｎ＝２のとき，Ｃ（θ）＝２θ
θの分布関数：θ／π
θの確率密度関数：１／π
θの平均値：∫(0,π)θ／πｄθ＝π／２
(2)ｎ＝３のとき，Ｃ（θ）＝２π（１−ｃｏｓθ）
θの分布関数：（１−ｃｏｓθ）／２
θの確率密度関数：ｓｉｎθ／２
θの平均値：∫(0,π)θｓｉｎθ／２ｄθ＝π／２
(3)ｎ＞３のとき，Ｃ（θ）＝ｎｖn（１−Ｆ（(cosθ)^2））／２
θの分布関数：（１−Ｆ（(cosθ)^2））／２
θの確率密度関数：(ｓｉｎθ)^(n-2)／Β（1/2，(n-1)/2）
θの平均値：∫(0,π)θ(ｓｉｎθ)^(n-2)ｄθ／Β（1/2，(n-1)/2）＝π／２
［参］1/2Ｂ（ｐ，ｑ）＝∫(0,π/2)(sinθ)^(2p-1)(cosθ)^(2q-1)dθ
∫(0,π/2)(sinθ)^(n-2)dθ＝1/2Ｂ((n-1)/2),1/2)
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【３】最近接球面距離分布
ここからが本題である．球面上のランダム点配置の最近接距離分布を求めてみることにするが，基本的な考え方は平面上での議論と同様になる．
球面上にポアソン配置した点の集団があるとして，この点の密度をδとすると，面積ｓの図形の中に落ちる点の数の期待値λは
λ＝ｓδ
で与えられる．
仮定により，面積ｓの図形の中に落ちる点の数ｘは，平均λ＝ｓδのポアソン分布に従う（あるいは近似できる）から，
Ｂ（ｘ）＝（ｓδ）^ｘ／ｘ！exp（-ｓδ） ｘ＝０，１，２，・・・
と書くことができる．
さて，任意の１点をとったとき，最近接点に至るまでの球面距離をθ，そしてθとθ＋ｄθの間に落ちる確率をｐ（θ）ｄθとし，この確率を求めてみよう．このとき，２つの条件
１）ある点から球面半径θの球帽内には全く他の点が存在しない
２）ある点を中心として球面半径θとθ＋ｄθの球帽で区切られた微小な環状面積に少なくとも１個の点が存在する
を満足させる必要がある．
条件１）からはｓ＝Ｃ（θ），ｘ＝０とおいて，
Ｂ（０）＝exp(-Ｃ（θ）δ)
条件２）からはｓ＝Ｃ’（θ）ｄθとおいて，この面積中に１個も落ちない確率Ｂ（０）を１から引けばよいから，
１−Ｂ（０）＝１−exp(-Ｃ’（θ）δｄθ)〜Ｃ’（θ）δｄθ
条件１）２）とも満たす確率は両者の積で与えられるから，
ｐ（θ）ｄθ＝Ｃ’（θ）δexp(-Ｃ（θ）δ)ｄθ
すなわち，最近接球面距離分布は
ｐ（θ）＝Ｃ’（θ）δexp(-Ｃ（θ）δ)
となり，ワイブル分布と同様，指数分布の族に属する分布であることがわかる．
また，
∫(0,π)ｐ（θ）ｄθ＝exp(-Ｃ（０）δ)−exp(-Ｃ（π）δ)
＝１−exp(-ｎｖnδ)＝Ｃ
とおくと，関数ｐ（θ）／Ｃは全体の面積を１とした規格化が行われる．ｐ（θ）／Ｃは積分すると１になる関数であるから，確率密度関数となる条件を満たすことになる．
ｐ（θ）／Ｃを改めて
ｐ（θ）＝Ｃ’（θ）δexp(-Ｃ（θ）δ)／（１−exp(-ｎｖnδ)）
とおくことにするが，このとき，球面距離θの分布関数Ｐ（θ），平均値θmと分散θvは
Ｐ（θ）＝∫(0,θ)ｐ（ｔ）ｄｔ
＝（１−exp(-Ｃ（θ）δ)）／（１−exp(-ｎｖnδ)）
θm＝∫(0,π)θｐ（θ）ｄθ
θv＝∫(0,π)（θ−θm）^2ｐ（θ）ｄθ
で与えられることになる．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Ｃ（θ）＝ｎｖn（１−Ｆ（(cosθ)^2））／２
をθで微分して
Ｃ’（θ）＝ｎｖnｆ（(cosθ)^2）cosθsinθ
したがって，最近接球面距離分布は
ｐ（θ）＝Ｃ’（θ）δexp(-Ｃ（θ）δ)/(1-exp(-ｎｖnδ))
＝ｎｖnδf((cosθ)^2)cosθsinθexp(-ｎｖnδ(1-F((cosθ)^2))/2)/(1-exp(-ｎｖnδ))
Ｐ（θ）＝（１−exp(-ｎｖnδ(1-F((cosθ)^2)/2)）／（１−exp(-ｎｖnδ)）
ただし，０≦θ≦π
ｆ（ｘ）＝ｘ^(-1/2)（１−ｘ）^((n-3)/2)／Β（1/2，(n-1)/2）
Ｆ（ｘ）＝２ｘ^(1/2)（１−ｘ）^((n-1)/2)q2Ｆ1(n/2,1,3/2,x)／Β（1/2，(n-1)/2）
とくに
(1)ｎ＝２のとき
Ｃ（θ）＝２θ
Ｃ’（θ）＝２
ｐ（θ）＝２δexp(-２δθ)/(1-exp(-２πδ))
Ｐ（θ）＝(1-exp(-２δθ))/(1-exp(-２πδ))
これより，円（１次元球面）における最近接点間の球面距離の分布は切断指数分布（truncated exponential distribution）になることがわかる．
(2)ｎ＝３のとき
C[θ]=2π∫(cosθ,1)dx=2π(1-cosθ)
C'[θ]=2πsinθ
ｐ（θ）＝2πδsinθexp(-2πδ(1-cosθ))/(1-exp(-4πδ))
Ｐ（θ）＝(1-exp(-2πδ(1-cosθ))/(1-exp(-4πδ))
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ｎｖnδ，すなわち（表面積）×（密度）＝Ｎとおくと，Ｎは球面上にポアソン配置した点の総数と考えることができる．
(1)ｎ＝２のとき，
ｐ（θ）＝Ｎ／πexp(-Ｎ／πθ)/(1-exp(-N))
Ｐ（θ）＝Ｎ／πexp(-Ｎ／πθ)/(1-exp(-N))
(2)ｎ＝３のとき，
ｐ（θ）＝Ｎsinθ／２exp(-Ｎ(1-cosθ)／２)/(1-exp(-N))
Ｐ（θ）＝(1-exp(-Ｎ(1-cosθ)／２))/(1-exp(-N))
(3)ｎ＞３のとき，
ｐ（θ）=Nf((cosθ)^2)cosθsinθexp(-N(1-F((cosθ)^2))/2)/(1-exp(-N))
Ｐ（θ）=(1-exp(-N(1-F((cosθ)^2))/2))/(1-exp(-N))
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【４】内積の分布
これまでの議論で，Ｘ＝ｘn^2＝(cosθ)^2の密度関数がベータ分布Beta(1/2,(n-1)/2)にしたがうこと，すなわち，
ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｘ^(-1/2)（１−ｘ）^((n-3)/2)／Ｂ(1/2,(n-1)/2)ｄｘ
はすでに述べたとおりであるが，(cosθ)^2の分布を介してθの分布が導出されたことになる．
Ｓn-1球面上の任意の２点ｘ，ｙのうち，点ｙは極（０，・・・，０，１）として差し支えない．点ｘ＝（ｘ1，ｘ2，・・・，ｘn）の極（０，・・・，０，１）からの球面距離をθとすると，ベクトルｘ，ｙの内積は
ｘ・ｙ＝ｘn＝ｃｏｓθ
それではＸ＝ｘn^2＝(cosθ)^2の密度関数がベータ分布Beta(1/2,(n-1)/2)にしたがうとき，内積：Ｙ＝ｘn＝ｃｏｓθの分布はどうなるのだろうか？ ベータ分布に従う確率変数の平方根の分布ということになるが，確率変数を変数変換した関数の分布は簡単に求めることができる．
ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｘ^(-1/2)（１−ｘ）^((n-3)/2)／Ｂ(1/2,(n-1)/2)ｄｘ
において，ｘ＝ｙ^2とおくとｄｘ＝２ｙｄｙ
ｇ（ｙ）ｄｙ＝２（１−ｙ^2）^((n-3)/2)／Ｂ(1/2,(n-1)/2)ｄｙ
また，x=y^2の逆関数は単調増加関数ではなく，２価関数であることに注意すると，
Ｐ｛ｘ＜Ｓn-1：cosθ≦ｘn≦１｝＝1/2Ｐ｛ｘ＜Ｓn-1：(cosθ)^2≦ｘn^2≦１｝
より，密度関数
ｇ（ｙ）＝（１−ｙ^2）^((n-3)/2)／Ｂ(1/2,(n-1)/2)
−１≦ｙ≦１，ｇ（−ｙ）＝ｇ（ｙ）
が得られる．
分布関数Ｇ（ｙ）は，
Ｇ（ｙ）＝１−∫(y,1)ｇ（ｙ）ｄｙ
ｙ＝ｃｏｓθとおくと
Ｇ（ｙ）＝１−∫(0,arccosθ)(sinｔ)^(n-2)dｔ／Ｂ(1/2,(n-1)/2)
となる．
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