１９３０年に開かれた第１回ワールドカップのでは１２枚の長四角の革を６組に分けて立方体（位相幾何学的１２面体）のように配置されていた．すなわち，初期のサッカーボールはバレーボール型であったが，１９３０年代にはもう一つ，立方体をもとにして，Ｈ型の革を６枚巧みに組み合わせたボールも使われていた．

　１９７０年のメキシコ大会から切頂２０面体型のデザインが変わった．これは２０枚の正六角形と１２枚の正五角形からなるが，シンメトリーな形をした革を１種類だけ使ったものではない．

　２０１０年のサッカーワールドカップでは，切頂２０面体型のサッカーボールとは違う形のボールが使われた．今後のワールドカップでは，ねじれ１２面体（９２面体）などが新しいさらに風変わりなサッカーボールの候補になりうると思われるが，いかがであろうか？

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［Ｑ］サッカーボールに五角形面は何面あるか？

という問題はよく知られた問題である．どの頂点にも五角形面ひとつと六角形面ふたつが集まっている．五角形面の数をｘ，六角形面の数をｙとすると，

　頂点の数：ｖ＝（５ｘ＋６ｙ）／３

　辺の数：　ｅ＝（５ｘ＋６ｙ）／２

　面の数：　ｆ＝ｘ＋ｙ

をオイラーの公式：ｖ−ｅ＋ｆ＝２に代入すると，ｘ＝１２となる．

　それでは，

［Ｑ］五角形面と六角形面で多面体を作る．五角形面は何面あるか？

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［補］（ｖ，ｅ，ｆ）が多面体となるための必要十分条件は

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

　　ｖ≧４，ｆ≧４

　　２ｅ≧３ｖ，２ｅ≧３ｆ

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