空間充填２（２^n−１）面体の場合も奇数次元の計算をまとめておきたい．

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　奇数次元（ｎ＝２ｋ＋１）の場合

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)＝π^(k+1/2)/Γ((2k+3)/2)

＝π^(k+1/2)／｛（２ｋ＋１）／２・（２ｋ−１）／２・・・√π）

＝(2π)^k／（２ｋ＋１）！！

＝(4π)^kｋ！／（２ｋ＋１）！

　ここで，ウォリスの公式

　　√π〜（ｎ！）^2２^2n／（２ｎ）！√ｎ

　　√ｎπ〜（ｎ！）^2２^2n／（２ｎ）！

を適用すると

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)＝(4π)^kｋ！／（２ｋ＋１）！

＝(π)^k４^kｋ！／（２ｋ）！（２ｋ＋１）

＝π^k（πｋ）^1/2／ｋ！（２ｋ＋１）

　　ｈj＝｛（ｊ＋１）（ｎ−ｊ）／２ｎ^2（ｎ＋１）｝^1/2

ｊ〜ｋのとき，

　　（ｊ＋１）（２ｋ−ｊ）＝ｋ（ｋ＋１）

ｈj＝ｒとすると，

　　ｒ^n＝｛ｋ（ｋ＋１）／２（２ｋ＋１）^2（２ｋ＋２）｝^k+1/2

＝｛ｋ／４（２ｋ＋１）^2｝^k+1/2

＝｛ｋ／４（２ｋ＋１）^2｝^k+1/2

＝｛ｋ／４（２ｋ＋１）^2｝^k｛ｋ／４（２ｋ＋１）^2｝^1/2

　一方，

　　Ｖn＝（ｎ＋１）^(-1/2}・２^n/2／ｎ^n

ｎ＝２ｋ＋１の場合，

　　Ｖ＝（２ｋ＋２）^(-1/2}・２^k+1/2／（２ｋ＋１）^2k+1

＝１／（ｋ＋１）^1/2・２^k／（２ｋ＋１）^2k（２ｋ＋１）

　両者を比較すると

　　π^k（πｋ）^1/2／ｋ！（２ｋ＋１）・｛ｋ／４｝^k｛ｋ／４｝^1/2

〜１／（ｋ＋１）^1/2・２^k

　　ｋ！／ｋ^k〜（√πｋ）／４・（π／８）^k

ちなみに，偶数次元では

　　ｋ！／ｋ^k〜（ｅｋ）^(1/2}｛π／８｝^k

であるから，定数係数の分だけ近似度が変化したが，本質的な違いはない．

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