偶数次元の正軸体の内接球と切頂正軸体の体積比較によって

　　ｎ！／ｎ^n〜２（π／８）^n

が得られた．

　蛇足（薮蛇）になるかもしれないが，奇数次元の場合を考えてみよう．まずは復習から．

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　偶数次元（ｎ＝２ｋ）の場合

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)＝π^k/ｋ！

であったが，奇数次元（ｎ＝２ｋ＋１）の場合は

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)＝π^(k+1/2)/Γ((2k+3)/2)

＝π^(k+1/2)／｛（２ｋ＋１）／２・（２ｋ−１）／２・・・√π）

＝(2π)^k／（２ｋ＋１）！！

＝(4π)^kｋ！／（２ｋ＋１）！

　ここで，ウォリスの公式

　　√π〜（ｎ！）^2２^2n／（２ｎ）！√ｎ

　　√ｎπ〜（ｎ！）^2２^2n／（２ｎ）！

を適用すると

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)＝(4π)^kｋ！／（２ｋ＋１）！

＝(π)^k４^kｋ！／（２ｋ）！（２ｋ＋１）

＝π^k（πｋ）^1/2／ｋ！（２ｋ＋１）

　また，内接球の半径は１／√ｎであるから，

　　１／ｎ^n/2＝１／（２ｋ＋１）^(k+1/2)

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・１／ｎ^n/2＝π^k（πｋ）^1/2／ｋ！（２ｋ＋１）^(k+3/2)

　一方，ｎ次元切頂八面体の体積は

　　１／２・（２／ｎ）^n・２^n＝２^4k+1／（２ｋ＋１）^2k+1

であるから，両者を比較すると

　　π^k（πｋ）^1/2（２ｋ＋１）^(k-1/2)／２^4k+1ｋ！〜１

　　ｋ！／ｋ^k〜√（ｅπ）／２（π／８）^k

　ちなみに，偶数次元では

　　ｋ！／ｋ^k〜２（π／８）^k

であるから，定数係数２が√（ｅπ）／２になった分，近似度が変化したが，本質的な違いはない．

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