内接球がスターリングの公式の近似には役立ち，その結果が

　　ｎ！／ｎ^n〜２（π／８）^n

であった．

　それに対して外接球の場合は，このままでは扱いにくいので，ｋ→∞とすると

　　｛（４ｋ−１）／３ｋ（２ｋ−１）｝→（２／３ｋ）

　したがって，

　　π^k/ｋ！（２／３ｋ）^k≧１／２・｛１／ｋ｝^2k・２^2k

という不等式になることがわかる．整理すると

　　ｋ！／ｋ^k≦２（π／６）^k

となって，正軸体と切頂正軸体の体積比較によって得られた不等式

　　ｋ！／ｋ^k≦２（１／２）^k

より若干劣るものとなった．

　また，切頂面に対する内接球は，ｋが大きくなるにつれて

　　ｎ次元切頂八面体の体積＞球の体積

となることは明らかである．なぜなら

　　１／２・｛１／ｋ｝^2k・２^2k＞π^k/ｋ！・｛１／ｋ｝^2k

を整理すると

　　ｋ！＞２（１／２）^k・（π／２）^k

　　ｋ！／ｋ^k＞２（１／２）^k・（π／２ｋ）^k

という自明な不等式である．

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　正軸体の中接球の体積

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・ｒ^n

とｎ次元切頂八面体の体積

　　１／２・（２／ｎ）^n・２^n

の大小比較を行うが，ここでは偶数次元の場合（ｎ＝２ｋ）だけを扱うことにする．

　　１／２・（２／ｎ）^n・２^n＝１／２・｛１／ｋ｝^2k・２^2k

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・ｒ^n＝π^k/ｋ！・ｒ^2k

したがって，

　　ｒ^2k≒ｋ！／２・（２／ｋ√π）^2k

　　ｒ^2≒（ｋ！／２）^1/k・４／πｋ^2＝（（ｎ／２）！／２）^2/n・１６／πｎ^2

となるような中接球がbest fitすることになる．

　ｎ→∞になるにつれて

　　（ｎ／２）！〜√（πｎ）（ｎ／２）^n/2ｅｘｐ（−ｎ／２）

であるから

　　ｒ^2≒（πｎ）^1/n（ｎ／２ｅ）・１６／πｎ^2

〜（８／πｅ）／ｎ^2

すなわち，内接球よりわずかに小さいところに近づいていくのである．

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