ｎ次元正多面体は外接球と中接球，内接球をもつ．これは０次元面の中心，１次元面の中心，・・・，ｎ−１次元面の中心を通る球という意味である．外接球の体積は常に正多面体の体積より大きく，ｎ−１次元面の中心を通る内接球は常に正多面体の体積より小さい．したがって，正多面体の体積をよく近似する球は，１次元面の中心，・・・，ｎ−２次元面の中心を通る球のいずれかということになる．

　準正多面体は外接球と中接球をもつが，内接球はもたない．これは頂点，辺の中心を通る球をもつが，ｎ−１次元面の中心までの距離は面によって異なっているので，内接球はもたないという意味である．２次元面の中心，・・・，ｎ−２次元面の中心を通る球を考えているわけではないので，正多面体の場合とは意味合いが異なる．

　これまで検討してきたことは，ｎ−１次元面の中心を通る球は空間充填２^n＋２ｎ面体の場合，２種類，空間充填２（２^n−１）面体の場合，ｎ種類あるが，どれが最も多面体の体積をよく近似するだろうかという問題であって，前者では２種類からひとつ，後者ではｎ種類からひとつ選ぶわけであるから，著しく公平性を欠いたものであることがわかる．

　ただし，要求する近似度の度合いはスターリング近似に等しく，極めて厳しい要求といえるだろう．

　　ｎ！〜ｃ^-1ｎ^(n+1/2)ｅｘｐ（−ｎ）ｅｘｐ（θ／１２ｎ）　　　（０≦θ≦１）

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　ここで，厳密には

　　ｃ＝√２π

であることを示したい．

　　Stirlingの公式の大体の形は（ｎ！／ｎ^n+1/2・ｅ（−ｎ）がｎ→∞のときに一定の極限値をもつ）はいろいろな方法で導かれますが，その極限値を正しく√（２π）とするにはWallisの公式が不可欠のようです．実際，これまでの証明はすべてWallisの公式（ないしそれと同等の結果）を活用しております．

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　凸体Ｋは内側と外側から相似比１：ｎの相似な楕円体で近似できる．中心対称な場合は相似比を１：√ｎに改善できる．（どちらの比も最善である．一般の場合は正単体を，中心対称な場合は立方体を考えればよい．）

　このことを考慮すると，√ｎ倍の誤差は許容範囲として

　　ｎ！〜ｃ^-1ｎ^nｅｘｐ（−ｎ）

程度で十分かもしれないと考えられる所以である．

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