単位球Ｂ^nのなかの凸多面体Ｐで，頂点数がｎの多項式になっているものは，どれも球の体積を近似しないことが知られている．頂点数がｎに関して指数関数的でない限り，体積近似しないのである．

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［１］楕円体による凸体の近似

　１辺の長さが１の正単体の内接球，外接球の半径はそれぞれ，

　　１／√２ｎ（ｎ＋１），√ｎ／２（ｎ＋１）

で，その比は１：ｎである．

　１辺の長さが１の立方体の内接球，外接球の半径はそれぞれ，

　　１，√ｎ

で，その比は１：√ｎである．

　したがって，凸体Ｋは内側と外側から相似比１：ｎの相似な楕円体で近似できる．中心対称な場合は相似比を１：√ｎに改善できる．どちらの比も最善である．一般の場合は正単体を，中心対称な場合は立方体を考えればよい．

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［２］多面体による球体近似（ミンコフスキーの第２定理）

　一般に中心対称な凸体（もっと一般的に０が重心であるような凸体）Ｋに対して，

　　２^n／ｎ！≦ｖｏｌ（Ｋ）≦２^n

はミンコフスキーの第２定理と呼ばれています．

　すなわち，Ｋの体積は１辺の長さ２の立方体とそれを切断した直角三角錐の体積の中間になるというものです．

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［３］マーラーの不等式

　立方体領域：Ｋ＝｛｜ｘ1｜≦１，・・・，｜ｘn｜≦１｝の体積は２^n，また，正八面体領域：Ｋ~＝｛｜ｘ1｜＋・・・＋｜ｘn｜≦１｝の体積は２^n／ｎ！で与えられます．両者は極双対集合です．

　中心対称な凸体（もっと一般的に０が重心であるような凸体）Ｋとその極双対集合Ｋ~に対して，マーラーの不等式

　　４^n／（ｎ！）^2≦ｖｏｌ（Ｋ）ｖｏｌ（Ｋ~）≦４^n

成立します．

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［４］ブラシュケ・サンターロの不等式

　ブラシュケ・サンターロの不等式は

　　ｃ1^n／ｎ！≦ｖｏｌ（Ｋ）ｖｏｌ（Ｋ~）≦ｃ2^n／ｎ！

というものです．

　前節のマーラーの不等式は最良のものではなく，定理の上限については

　　ｖｏｌ（Ｋ）ｖｏｌ（Ｋ~）≦ｖｏｌ（Ｂ^n）^2＝π^n／Γ^2（ｎ／２＋１）が成り立ちます．下限については

　　４^n／ｎ！≦ｖｏｌ（Ｋ）ｖｏｌ（Ｋ~）

が予想されています（マーラー予想）．

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