Stirlingの公式の大体の形は（ｎ！／ｎ^n+1/2・ｅ（−ｎ）がｎ→∞のときに一定の極限値をもつ）はいろいろな方法で導かれますが，その極限値を正しく√（２π）とするにはWallisの公式が不可欠のようです．実際，これまでの証明はすべてWallisの公式（ないしそれと同等の結果）を活用しております．

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【１】ウォリスの公式

　　1/2B(1/2,(n+1)/2)=integral(0-π/2)(sinθ)^ndθ

この値をＳnとおくと，部分積分により漸化式

　　Ｓn=(n-1)/nＳn-2

が得られますから，

n=2k（偶数）なら1･3･･･(2k-1)/2･4･･･(2k)*π/2

n=2k+1（奇数）なら2･4･･･(2k)/1･3･･･(2k+1)

これより，

lim1･3･･･(2k-1)/2･4･･･(2k)*√(k)=1/√(π)

変形するとウォリスの公式

(2n)!/(2^nn!)^2√(n)=1/√(π)

が得られる．

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【２】ウォリスの公式（その２）

　ウォリスの公式は

　　π／２＝（２・２／１・３）（４・４）／（３・５）（６・６）／（５・７）・・・（２ｎ・２ｎ）／（（２ｎ−１）・（２ｎ＋１））・・・

と記すとわかりやすい．この公式の不思議なところは有理数の無限積→πになっている点である．

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