■スターリングの公式の図形的証明?(その48)

 平行体の体積計算では,2つの方法

[1]漸化式

[2]行列式(グラミアン)

が考えられる.置換多面体とその正軸体版の2種類の多面体について,2つの方法で計算したところ,どちらの多面体でも4次元まで[1][2]は一致したものの5次元以上で乖離してしまったことがあった.

 このシリーズでも不可解な現象が起こっている.(その43)以降の再考から始めたい.

  1−y1=2/n(n+1)

より,規格化前(正単体の辺の長さ1)の置換多面体の体積は

  Vn=(n+1)^(n-1/2}/2^n/2・{2/n(n+1)}^n

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【1】中心から各面までの距離

  Pn(a1,・・・,an)

  aj=√(1/2j(j+1))

と切頂切稜面の距離を求める.

 切頂切稜面はPkPnに垂直で,点

  Q=(x1,・・・,xn)=(a1y1,・・・,anyn)

を通る.

PnP0=(−a1,−a2,・・・,−an)

PnP1=(0,−a2,−a3,・・・,−an)

PnPn-1=(0,・・・,0,−an)

 ファセットを定めている不等式は,

  a・x=c

で与えられる.一般に,超平面a・x=cと点x0の距離は

  |a・x0−c|/‖a‖

とくに,原点からファセットまでの距離は|c|/‖a‖となる.

 PnP0に垂直なn次元超平面が点Qを通るのだが,原点をPnに移した方が紛らわしくないので

  a=(−a1,−a2,・・・,−an)

  q=(x1−a1,x2−a2,x3−a3,・・・,xn−an)

とすると,この超平面をa・(x−q)=0,a・x=a・q=cで表すと

  c0=−(a1x1+・・・+anxn)+(a1^2+・・・+an^2)

  c0=−(a1^2y1+・・・+an^2yn)+(a1^2+・・・+an^2)

  h0=|c0|/‖a‖,‖a‖=(a1^2+・・・+an^2)^1/2

 ここで,

  a1^2+・・・+an^2

=1/2(1/1・2+1/2・3+・・・+1/n・(n+1))

=1/2(1/1−1/2+1/2−1/3+・・・+1/n−1/(n+1))

=1/2(1/1−1/(n+1))

=1/2・n/(n+1)

  a1^2y1+・・・+an^2yn

=1/2(1/1・2−1/n(n+1))+・・・+1/2(1/n・(n+1)−1/n(n+1))

=1/2(1/1・2+・・・+1/n・(n+1)−n/n(n+1))

=1/2(1/1−1/(n+1)−n/n(n+1))

 PnP1に垂直なn次元超平面では

  a=(0,−a2,・・・,−an)

  c1=−(a2x2+・・・+anxn)+(a2^2+・・・+an^2)

  c1=−(a2^2y2+・・・+an^2yn)+(a2^2+・・・+an^2)

  h1=|c1|/‖a‖,‖a‖=(a2^2+・・・+an^2)^1/2

 ここで,

  a2^2+・・・+an^2

=1/2(1/2・3+・・・+1/n・(n+1))

=1/2(1/2−1/3+・・・+1/n−1/(n+1))

=1/2(1/2−1/(n+1))

=1/2・(n−1)/2(n+1)

  a2^2y2+・・・+an^2yn

=1/2(1/2・3−1/n(n+1))+・・・+1/2(1/n・(n+1)−1/n(n+1))

=1/2(1/2・3+・・・+1/n・(n+1)−n/n(n+1))

=1/2(1/2−1/(n+1)−(n−1)/n(n+1))

 PnPn-1に垂直なn次元超平面では

  a=(0,・・・,0,−an)

  cn-1=−anxn+an^2=−an^2yn+an^2

  hn-1=|cn-1|/‖a‖,‖a‖=(an^2)^1/2

  ‖ak‖^2=1/2(k+1)(k+2)+・・・+1/2n(n+1)=1/2(1/(k+1)−1/(n+1))=(n−k)/2(k+1)(n+1)

 ここで,

  an^2=1/2(1/n・(n+1))

=1/2(1/n−1/(n+1))

=1/2(1/n−1/(n+1))

=1/2・1/n(n+1)

  an^2yn

=1/2(1/n・(n+1)−1/n(n+1))=0

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  1−y1=(1・2)/n(n+1)

  1−y2=2(1+2)/n(n+1)=(2・3)/n(n+1)

  1−y3=2(1+2+3)/n(n+1)=(3・4)/n(n+1)

  1−yn=2(1+2+3+・・・+n)/n(n+1)=n(n+1)/n(n+1)=1

  a1^2(1−y1)=1/2(1・2)・(1・2)/n(n+1)=1/2n(n+1)

  a2^2(1−y2)=1/2(2・3)・(2・3)/n(n+1)=1/2n(n+1)

  a3^2(1−y3)=1/2(3・4)・(3・4)/n(n+1)=1/2n(n+1)

  an^2(1−yn)=1/2(n・n+1)・(n・n+1)/n(n+1)=1/2n(n+1)

を用いた方が計算がやさしい.

 PnP0に垂直なn次元超平面が点Qを通るのだが,原点をPnに移した方が紛らわしくないので

  a=(−a1,−a2,・・・,−an)

  q=(x1−a1,x2−a2,x3−a3,・・・,xn−an)

とすると,この超平面をa・(x−q)=0,a・x=a・q=cで表すと

  c0=−(a1x1+・・・+anxn)+(a1^2+・・・+an^2)

  c0=−(a1^2y1+・・・+an^2yn)+(a1^2+・・・+an^2)

  h0=|c0|/‖a‖,‖a‖=(a1^2+・・・+an^2)^1/2

 ここで,

  a1^2+・・・+an^2=1/2(1/1・2+1/2・3+・・・+1/n・(n+1))

=1/2(1/1−1/2+1/2−1/3+・・・+1/n−1/(n+1))

=1/2(1/1−1/(n+1))

=1/2・n/(n+1)

  a1^2(1−y1)+・・・+an^2(1−yn)

=n/2n(n+1)

  h0=(1/2(n+1))^1/2

 PnP1に垂直なn次元超平面では

  a=(0,−a2,・・・,−an)

  c1=−(a2x2+・・・+anxn)+(a2^2+・・・+an^2)

  c1=−(a2^2y2+・・・+an^2yn)+(a2^2+・・・+an^2)

  h1=|c1|/‖a‖,‖a‖=(a2^2+・・・+an^2)^1/2

 ここで,

  a2^2+・・・+an^2=1/2(1/2・3+・・・+1/n・(n+1))

=1/2(1/2−1/3+・・・+1/n−1/(n+1))

=1/2(1/2−1/(n+1))

=1/2・(n−1)/2(n+1)

  a2^2(1−y2)+・・・+an^2(1−yn)

=(n−1)/2n(n+1)

  h1=((n−1)/(n+1))^1/2/n

 PnPn-1に垂直なn次元超平面では

  a=(0,・・・,0,−an)

  cn-1=−anxn+an^2=−an^2yn+an^2

  hn-1=|cn-1|/‖a‖,‖a‖=(an^2)^1/2

  ‖ak‖^2=1/2(k+1)(k+2)+・・・+1/2n(n+1)=1/2(1/(k+1)−1/(n+1))=(n−k)/2(k+1)(n+1)

 ここで,

  an^2=1/2(1/n・(n+1))

=1/2(1/n−1/(n+1))

=1/2(1/n−1/(n+1))

=1/2・1/n(n+1)

  an^2(1−yn)=1/2n(n+1)

  hn-1=(1/2n(n+1))^1/2

 一般に,

  ‖aj‖^2=(n−j)/2(j+1)(n+1)

  cj=(n−j)/2n(n+1)

  hj={(j+1)(n−j)/2n^2(n+1)}^1/2→OK

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