■スターリングの公式の図形的証明?(その47)

 2(2^n−1)面体の正単体比は

  2^nn!/n^n(n+1)〜√(2π/n)(2/e)^n

となって,有理数倍であることがわかる.

 一方,2^n+2m面体の正軸体比は

  1/2・2^nn!/n^n〜√(nπ/2)(2/e)^n

となって,どとらも有理数倍になっていることがわかる.また,ほぼ指数関数的に減少することがわかるだろう.

[雑感]両者の比はほぼn倍も違っているのであるが,この結果も(その33)−(その38)の結果と整合しているように思える.当初は,面数2(2^n−1)の空間充填多面体(置換多面体,頂点数(n+1)!)を使えばよりよい上界・下界評価が可能になるかもしれないと考えていたのであるが,3^n−1面体に期待を掛けたい.

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