正多角形は無限に多く存在しますが，それでは，「互いに合同な正多角形を隙間も重なりもないように並べて平面を完全に埋める仕方が何通りあるでしょうか？」この問題は昔から知られていて，それが３種類に限ることは以下のようにして証明されます．

　正多角形の中で平面をタイル張りのように隙間なく埋めつくすことができる平面充填形では，各頂点に正ｐ角形がｑ面が会するとすると，正ｐ角形の一つの内角は２（１−２／ｐ）×９０°であり，一つの頂点の回りの内角の和はこれがｑ個集まって四直角ですから，

　　２ｑ（１−２／ｐ）＝４，すなわち，

　　１／ｐ＋１／ｑ＝１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

で，この条件を満たす（ｐ，ｑ）の組は（３，６），（４，４），（６，３）の３通りしかありません．したがって，平面充填形は正三角形，正方形，正六角形の３つだけです．このうち正方形のは碁盤，正六角形のは蜂の巣などでおなじみでしょう．

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　それに対して，同大の正ｐ角形を環状につなぎ合わせるとする．たとえば正六角形を６個つなぎ合わせるとちょうどひとつの環になり，真ん中に正六角形が現れる．

　同様のことが起こるための条件は，正ｐ角形の頂点の補角は２π／ｐであるから，隣り合う２辺のなす角は４π／ｐの補角である．これが２πの整数分の１であることが必要である．

　　１−４／ｐ＝２／ｑ

　これより（ｐ，ｑ）＝（５，１０），（６，６），（８，４），（１２，３）の４通りしかないことがわかる．

　この式

　　１−４／ｐ＝２／ｑ

は

　　１／ｐ＋１／ｑ＝１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

とよく似ていてしかも違うことがおもしろいが，

　　１／ｐ＋１／ｑ＝１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

は，中央部の孔がちょうどなくなるようにしたものある．

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