（その９）（その１０）では，算術平均Ａ（ａ^n）と幾何平均Ｇ（ａ^n）についてのフルヴィッツ・ムーアヘッドの等式
ｎ｛Ａ（ａ^n）−Ｇ（ａ^n）｝
＝１／２（ｎ−１）！｛Σ（ａ1^(n-1)−ａ2^(n-1)）（ａ1−ａ2）＋Σ（ａ1^(n-2)−ａ2^(n-2)）（ａ1−ａ2）ａ3＋Σ（ａ1^(n-3)−ａ2^(n-3)）（ａ1−ａ2）ａ3ａ4＋・・・｝
を紹介した．右辺はａ1，ａ2，・・・，ａnを置換して得られる値の総和である．
また，このことから算術平均と幾何平均の大小関係についての有名な不等式
Ａ（ａ^n）≧Ｇ（ａ^n）
の別証明が得られる．
Σ（ａ1^(n-1)−ａ2^(n-1)）（ａ1−ａ2）＋Σ（ａ1^(n-2)−ａ2^(n-2)）（ａ1−ａ2）ａ3＋Σ（ａ1^(n-3)−ａ2^(n-3)）（ａ1−ａ2）ａ3ａ4＋・・・
＝ΣＰ1（ａ1−ａ2）^2＋ΣＰ2（ａ1−ａ2）^2＋ΣＰ3（ａ1−ａ2）^2＋・・・
＝Σ（Ｐ1＋Ｐ2＋Ｐ3＋・・・）（ａ1−ａ2）^2
＝ΣＰ0（ａ1−ａ2）^2≧０
このように２次式の和の形ΣｋＰ^2が出現するのだが，さらに，
ａ1＝ｘ1^2，ａ2＝ｘ2^2，・・・
とおくと，
（ａ1^(n-1)−ａ2^(n-1)）（ａ1−ａ2）
＝（ｘ1^2(n-1)−ｘ2^2(n-1)）（ｘ1^2−ｘ2^2）
＝（ｘ1^2−ｘ2^2）^2（ｘ1^2(n-2)＋ｘ1^2(n-3)ｘ2^2＋・・・＋ｘ2^2(n-2)）
となり，各項が（ｘ1^2−ｘ2^2）ｘ1^(n-2)の平方の形の多項式となっていることがわかる．このことから，多項式Ｐ1，Ｐ2，・・・それ自体も平方の和となることが理解される．
（その９）（その１０）では，有名な不等式（←無名な等式）
(1)算術平均と幾何平均の不等式（←フルヴィッツ・ムーアヘッドの等式）
を紹介したが，今回のコラムではそれと同等に有名な不等式（←無名な等式）
(2)コーシー・シュワルツの不等式（←ラグランジュの等式）
について紹介する．そこにも２次式の和の形ΣｋＰ^2が出現するのである．さらに
(3)オイラーの分数式恒等式
も取り上げてみたい．
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【１】ヒルベルトの定理
フルヴィッツ・ムーアヘッドの等式により，
ａ1^n＋ａ2^n＋・・・＋ａn^n−ｎａ1ａ2・・・ａn
を各項が非負値の和として表すことができることがわかっているが，特に２ｎ次のとき，
Ｆ＝ｘ1^2n＋ｘ2^2n＋・・・＋ｘ2n^2n−２ｎｘ1ｘ2・・・ｘ2n
＝ｘ1^2n＋・・・＋ｘn^2n−ｎｘ1^2・・・ｘn^2
＋ｘn+1^2n＋・・・＋ｘ2n^2n−ｎｘn+1^2・・・ｘ2n^2
＋ｎ（ｘ1・・・ｘn−ｘn+1・・・ｘ2n）^2
より，
Ｆ＝ΣＰi^2
を示すことができる．
この定理は，
a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6-6abcdef
が多項式の平方の和となることを保証するものである．たとえば，
ｘ^4＋ｙ^4＋ｚ^4＋ｗ^4−４ｘｙｚｗ
＝（ｘ^2−ｙ^2）^2＋（ｚ^2−ｗ^2）^2＋２（ｘｙ−ｚｗ）^2
は３個の多項式の平方の和である．
また，
ｘ^6＋ｙ^6＋ｚ^6＋ｕ^6＋ｖ^6＋ｗ^6−６ｘｙｚｕｖｗ
＝１／２（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）｛（ｙ^2−ｚ^2）^2＋（ｚ^2−ｘ^2）^2＋（ｘ^2−ｙ^2）^2｝＋１／２（ｕ^2＋ｖ^2＋ｗ^2）｛（ｖ^2−ｗ^2）^2＋（ｗ^2−ｕ^2）^2＋（ｕ^2−ｖ^2）^2｝＋３（ｘｙｚ−ｕｖｗ）^2
は１９個の多項式の平方の和である．
a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd
=P1(a-b)^2+P2(a-c)^2+P3(a-d)^2+P4(b-c)^2+P5(b-d)^2+P6(c-d)^2
であることは保証してないのであるが，abcdの項が出現するためには(ab-cd)または(ac-bd)の平方の項が出現しなければないのだろうか？
ところで，この定理では，２ｎ変数の２ｎ次正定値形式
Ｆ＝ｎ｛Ａ（ａ^2n）−Ｇ（ａ^2n）｝
がいくつかの多項式Ｐiを用いて
Ｆ＝ΣＰi^2
と表されることをみたが，それでは２ｎ変数の２ｎ次正定値形式Ｆはすべてこのように表されるのだろうか？
すなわち，次なる問題はどのようなＦがいくつかの多項式Ｐiを用いて
Ｆ＝ΣＰi^2
と表されるかという問題である．
この問題はヒルベルトによって完全に解決されていて，Ｆの次数を２ｎとし，変数の数をｍとした場合，
(1)ｍ＝２，ｎは任意
(2)ｍは任意，２ｎ＝２
(3)ｍ＝３，２ｎ＝４
は実数係数２次形式の和で表されるが，これ以外のものについては表されないものが存在するという結論である．
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【２】ラグランジュの恒等式
(2)は任意の２次形式は２次形式であるという当たり前のことをいっているに過ぎないと思われるかもしれないが，この節ではｍは任意，２ｎ＝４の具体的な例として「ラグランジュの恒等式」を挙げてみたい．
Ｆ＝（ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2）（ｂ1^2＋ｂ2^2＋・・・＋ｂn^2）−（ａ1ｂ1＋ａ2ｂ2＋・・・＋ａnｂn）^2
＝（ａ1ｂ2−ａ2ｂ1）^2＋（ａ1ｂ3−ａ3ｂ1）^2＋・・・＋（ａ1ｂn−ａnｂ1）^2
＋（ａ2ｂ3−ａ3ｂ2）^2＋・・・＋（ａ2ｂn−ａnｂ2）^2
＋・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
＋（ａn-1ｂn−ａnｂn-1）^2
すなわち
（Σａi^2）（Σｂi^2）−（Σａiｂi）^2＝1/2Σ（ａiｂj−ａjｂi）^2 あるいは(i<j)として
（Σａi^2）（Σｂi^2）−（Σａiｂi）^2＝Σ（ａiｂj−ａjｂi）^2
右辺はｎ^2個あるいはｎ（ｎ−１）／２個の多項式の平方の和である．
コーシー・シュワルツの不等式
（Σａi^2）（Σｂi^2）≧（Σａiｂi）^2
はラグランジュの恒等式から自明であろう．この有名な不等式は角の余弦値は１以下であることの幾何学的表現と解釈することができる．したがって，等号はベクトルが（同じ向きか反対向きで）平行であるとき，すなわち
ａ1／ｂ1＝ａ2／ｂ2＝・・・＝ａn／ｂn
のときに限られる．
なお，各々の和に対応する平均値に置き換えてもコーシー・シュワルツの不等式は成り立つ．
（1/nΣａi^2）（1/nΣｂi^2）≧（1/nΣａiｂi）^2
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【３】オイラーの恒等式
高校数学では，分数式の計算
Ｆ＝１／（ａ−ｂ）（ｃ−ａ）＋１／（ｂ−ｃ）（ａ−ｂ）＋１／（ｃ−ａ）（ｂ−ｃ）
とか
Ｆ＝ａ^2／（ａ−ｂ）（ｃ−ａ）＋ｂ^2／（ｂ−ｃ）（ａ−ｂ）＋ｃ^2／（ｃ−ａ）（ｂ−ｃ）
を簡単にせよという演習問題に出会ったことがあるはずである．
Ｆ＝｛ａ^k（ｂ−ｃ）＋ｂ^k（ｃ−ａ）＋ｃ^k（ａ−ｂ）｝／（ａ−ｂ）（ｂ−ｃ）（ｃ−ａ）
として，分子をＦkとおくと
Ｆ0＝（ｂ−ｃ）＋（ｃ−ａ）＋（ａ−ｂ）＝０
Ｆ1＝ａ（ｂ−ｃ）＋ｂ（ｃ−ａ）＋ｃ（ａ−ｂ）＝０
Ｆ2＝ａ^2（ｃ−ｂ）＋ｂ^2（ａ−ｃ）＋ｃ^2（ｂ−ａ）＝−（ａ−ｂ）（ｂ−ｃ）（ｃ−ａ）
Ｆ3＝ａ^3（ｂ−ｃ）＋ｂ^3（ｃ−ａ）＋ｃ^3（ａ−ｂ）＝−（ａ−ｂ）（ｂ−ｃ）（ｃ−ａ）（ａ＋ｂ＋ｃ）
よって，ｋ＝０，１，２，３の場合，順に
Ｆ＝０，０，−１，−（ａ＋ｂ＋ｃ）
となる．
Ｆkは交代式で，交代式は差積と対称式Ａの積で表されるという性質があるから
Ｆk＝Ａ（ａ−ｂ）（ｂ−ｃ）（ｃ−ａ）
ここで，分母（ａ−ｂ）（ｂ−ｃ）（ｃ−ａ）は３次交代式，分子Ｆkはｋ＋１次交代式であるから，Ｆはｋ−２次対称式となる．このことからｋ＝０，１のときＦ＝０，ｋ＝２のときＦは定数となることがわかる．
ｋ＝２の場合，Ｆ＝−１
ｋ＝３の場合，Ｆ＝−（ａ＋ｂ＋ｃ）
ｋ＝４の場合，Ｆ＝−（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）
ｋ＝５の場合，Ｆ＝−（ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＋ａ^2ｂ＋ａｂ^2＋ａ^2ｃ＋ａｃ^2＋ｂ^2ｃ＋ｂｃ^2＋ａｂｃ）
また，対称式の基本定理より，ｎ変数のどんな対称式も基本対称式を用いて表すことができる．３変数の場合の基本対称式
σ1＝ａ＋ｂ＋ｃ
σ2＝ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ
σ3＝ａｂｃ
を用いて対称式Ｐを表してみることにしよう．
ｋ＝３の場合，Ｆ＝−（ａ＋ｂ＋ｃ）＝−σ1
ｋ＝４の場合，Ｆ＝−（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）＝−σ1^2＋σ2
ｋ＝５の場合，Ｆ＝−（ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＋ａ^2ｂ＋ａｂ^2＋ａ^2ｃ＋ａｃ^2＋ｂ^2ｃ＋ｂｃ^2＋ａｂｃ）＝−σ1^3＋２σ1σ2−σ3
しかし，対称式の基本定理など代数学の知識を駆使してもあまり面白い結果になりそうもない．
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１／（ａ−ｂ）（ｃ−ａ）＋１／（ｂ−ｃ）（ａ−ｂ）＋１／（ｃ−ａ）（ｂ−ｃ）＝０
（ｂ＋ｃ）／（ａ−ｂ）（ｃ−ａ）＋（ｃ＋ａ）／（ａ−ｂ）（ｂ−ｃ）＋（ａ＋ｂ）／（ｂ−ｃ）（ｃ−ａ）＝０
ｂｃ／（ａ−ｂ）（ｃ−ａ）＋ｃａ／（ａ−ｂ）（ｂ−ｃ）＋ａｂ／（ｂ−ｃ）（ｃ−ａ）＝−１
などの一連の式は「オイラーの恒等式」と呼ばれるものだそうである．単なる分数式の練習問題ではなく，由緒ある式なのである．
しかし，オイラーの恒等式は算術平均と幾何平均の不等式（←フルヴィッツ・ムーアヘッドの等式）や巡回行列式のように２次式の和の形
Ｆ＝ΣｋＰ^2
にも表せそうもない．これでは面白味に欠けるが「オイラーの恒等式」に何か面白い性質は隠れていないのだろうか？ オイラーの恒等式は巡回行列式でなく，ファンデルモンドの行列式と近い関係にあることは推測できるのだが，もう一度じっくりみてみることにしよう．
ｋ＝３のとき，Ｆ＝−（ａ＋ｂ＋ｃ）
ｋ＝４のとき，Ｆ＝−（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）
ｋ＝５のとき，Ｆ＝−（ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＋ａ^2ｂ＋ａｂ^2＋ａ^2ｃ＋ａｃ^2＋ｂ^2ｃ＋ｂｃ^2＋ａｂｃ）
はｋ−２次の同次項（係数１）がすべて出現している組合せであることに気づかれたであろう．
その項数は
3Ｈk-2＝kＣk-2＝ｋ（ｋ−１）／２
すなわち，ｋ＝３（項数３），ｋ＝４（項数６），ｋ＝５（項数１０）と計算される．そして，ｋ＝６の場合は
Ｆ＝−（ａ^4＋ａ^3ｂ＋ａ^3ｃ＋ａ^2ｂ^2＋ａ^2ｂｃ＋ａ^2ｃ^2＋ａｂ^3＋ａｂ^2ｃ＋ａｂｃ^2＋ａｃ^3＋ｂ^4＋ｂ^3ｃ＋ｂ^2ｃ^2＋ｂｃ^3＋ｃ^4）
（項数１５）になるものと推測されるのである．
この推測の信頼率は95%以下と思われたので，阪本ひろむ氏（最近出版された
志賀浩二監訳・阪本ひろむ訳「バナッハとポーランド数学」シュプリンガー・フェアラーク東京
の訳者）にお願いして，Mathematicaを用いて確認してもらっている．
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オイラーの恒等式では３変数の場合が取り上げられているが，４変数ではどうだろうか？ その前に３変数の場合について，都合上
Ｆ＝｛ａ^k（ｂ−ｃ）−ｂ^k（ａ−ｃ）＋ｃ^k（ａ−ｂ）｝／（ａ−ｂ）（ａ−ｃ）（ｂ−ｃ）
と書き直しておく．
２変数の場合，差積は１次交代式（ｂ−ａ）であるから
Ｆ＝ａ^k／（ａ−ｂ）−ｂ^k／（ａ−ｂ）＝（ａ^k−ｂ^k）／（ａ−ｂ）
Ｆk＝Ａ（ａ−ｂ）とすると
Ａ＝ａ^(k-1)＋ａ^(k-2)ｂ＋・・・＋ａｂ^(k-1)＋ｂ^k
すなわち，ｋ−１次の同次項が重複なくちょうど１回ずつ現れ，その項数は
2Ｈk-1＝kＣk-1＝ｋ
となる．
ｋ＝１のとき，Ｆ＝１ （項数１）
ｋ＝２のとき，Ｆ＝ａ＋ｂ （項数２）
ｋ＝３のとき，Ｆ＝ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2 （項数３）
ｋ＝４のとき，Ｆ＝ａ^3＋ａ^2ｂ＋ａｂ^2＋ｂ^3 （項数４）
４変数の場合，差積は６次交代式
（ａ−ｂ）（ａ−ｃ）（ａ−ｄ）（ｂ−ｃ）（ｂ−ｄ）（ｃ−ｄ）
また，
Ｆk＝ａ^k（ｂ−ｃ）（ｂ−ｄ）（ｃ−ｄ）−ｂ^k（ａ−ｃ）（ａ−ｄ）（ｃ−ｄ）＋ｃ^k（ａ−ｂ）（ａ−ｄ）（ｂ−ｄ）−ｄ^k（ａ−ｂ）（ａ−ｃ）（ｂ−ｃ）
とかなり厳めしくなるが，Ｆkは差積と対称式Ａの積
Ｆk＝Ａ（ａ−ｂ）（ａ−ｃ）（ａ−ｄ）（ｂ−ｃ）（ｂ−ｄ）（ｃ−ｄ）
で表されるはずであるから，ｋ＝０，１，２のときＦ＝０，ｋ＝３のときＦは定数となることがわかる．
項数は
4Ｈk-3＝kＣk-3＝ｋ（ｋ−１）（ｋ−２）／６
ｋ＝３のとき，Ｆ＝１ （項数１）
ｋ＝４のとき，Ｆ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ （項数４）
ｋ＝５のとき，Ｆ＝ａ^2＋ａ（ｂ＋ｃ＋ｄ）＋ｂ^2＋ｂ（ｃ＋ｄ）＋ｃ^2＋ｃｄ＋ｄ^2 （項数１０）
ｋ＝６のとき，Ｆ＝ａ^3＋ａ^2（ｂ＋ｃ＋ｄ）＋ａ（ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2＋ｂｃ＋ｃｄ＋ｄａ）＋ｂ^3＋ｂ^2（ｃ＋ｄ）＋ｂ（ｃ^2＋ｃｄ＋ｄ^2）＋ｃ^3＋ｃ^2ｄ＋ｃｄ^2＋ｄ^3 （項数２０）
次にｋ＝−１，−２，−３，・・・としてみたらどうだろうか？ ｋ＝−１の場合だけを記すが，
２変数の場合，Ｆ＝−１／ａｂ
３変数の場合，Ｆ＝ １／ａｂｃ
４変数の場合，Ｆ＝−１／ａｂｃｄ
この分数式に数学的背景があるとは思いもしなかったが，すべての同時項（係数１）が出現するなど意外な事実があることを知った．オイラーの恒等式と関係していることを知って少しは楽しくなっただろうか．
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【補】巡回行列式
３次の巡回行列式
｜ａ ｂ ｃ｜
｜ｃ ａ ｂ｜＝ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ
｜ｂ ｃ ａ｜
＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2−ａｂ−ｂｃ−ｃａ）
＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂω＋ｃω^2）（ａ＋ｂω^2＋ｃω）
もきれいな恒等式です．
ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2−ａｂ−ｂｃ−ｃａ
＝｛（ａ−ｂ）^2＋（ｂ−ｃ）^2＋（ｃ−ａ）^2｝／２≧０
は高校数学でよく出てきますから，憶えておられる方も多いでしょう．
２次の巡回行列式
｜ａ ｂ｜＝ａ^2−ｂ^2＝（ａ＋ｂ）（ａ−ｂ）
｜ｂ ａ｜
では物足りないし，かといって４次の巡回行列式
｜ａ ｂ ｃ ｄ｜
｜ｄ ａ ｂ ｃ｜
｜ｃ ｄ ａ ｂ｜
｜ｂ ｃ ｄ ａ｜
＝ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4−２（ａ^2ｂ^2＋ａ^2ｃ^2＋ａ^2ｄ^2＋ｂ^2ｃ^2＋ｂ^2ｄ^2＋ｃ^2ｄ^2）＋８ａｂｃｄ
＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）（ａ−ｂ＋ｃ−ｄ）（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2−２ａｃ−２ｂｄ）
＝｛（ａ＋ｃ）^2−（ｂ＋ｄ）^2｝｛（ａ−ｃ）^2＋（ｂ−ｄ）^2｝
＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）（ａ＋ｂｉ−ｃ−ｄｉ）（ａ−ｂ＋ｃ−ｄ）（ａ−ｂｉ−ｃ＋ｄｉ）
では厳めしく感じられます．
巡回行列式には２次式の和の形ΣｋＰ^2が出現するのですが，一般に，ζを１の原始ｎ乗根（すなわちｎ乗してはじめて１になる複素数）とすると
｜ｘ0 ｘ1・・・ｘn-1｜
｜ｘn-1 ｘ0・・・ｘn-2｜＝Π（ｘ0＋ζ^iｘ1＋・・・＋ζ^(n-1)iｘn-1）
｜・・・・・・・・・・｜ (i=0~n-1)
｜ｘ1 ｘ2・・・ｘ0 ｜
で表されます．(i=0~n-1)ですから右辺はｎ個の整式の積となります．
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【補】ファンデルモンドの行列式
｜１ １ １ ｜
｜ａ ｂ ｃ ｜＝（ａ−ｂ）（ｂ−ｃ）（ｃ−ａ）
｜ａ^2 ｂ^2 ｃ^2｜
は有名な公式です．
｜１ １｜＝ｂ−ａ
｜ａ ｂ｜
｜１ １ １ １ ｜
｜ａ ｂ ｃ ｄ ｜＝（ａ−ｂ）（ａ−ｃ）（ａ−ｄ）
｜ａ^2 ｂ^2 ｃ^2 ｄ^2｜ ×（ｂ−ｃ）（ｂ−ｄ）
｜ａ^3 ｂ^3 ｃ^3 ｄ^3｜ ×（ｃ−ｄ）
いずれも右辺は特別な形（差積）になっていますが，これを一般化した公式が「ファンデルモンドの行列式」です．
｜１ １ １・・・・１ ｜
｜ｘ1 ｘ2 ｘ3 ・ｘn ｜
｜ｘ1^2 ｘ2^2 ｘ3^2 ・ｘn^2 ｜＝ＲΠ（ｘi−ｘj）
｜・・・・・・・・・・・・・・・・・・｜ Ｒ＝(-1)^{n(n-1)/2}
｜ｘ1^n-1 ｘ2^n-1 ｘ3^n-1 ・ｘn^n-1 ｜ (i>j)
ファンデルモンドの行列式は符号を除いて差積Π（ｘi−ｘj）に等しく，整級数の理論や分割の理論に使われます．(i>j)ですから右辺はnＣ2＝ｎ（ｎ−１）／２項の積となります．
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【補】ベクトルの外積と３次元の特殊性
昔なつかしい「ベクトル」を思い出して頂き，「ベクトルの外積」の大きさ，すなわち，２つの２次元ベクトル
ａ↑＝（ｘ1，ｙ1）
ｂ↑＝（ｘ2，ｙ2）
が作る平行四辺形の面積について考えてみることにしましょう．
｜ａ↑｜＝ａ，｜ｂ↑｜＝ｂ
とすれば，平行四辺形の面積は，
Ｓ＝ａｂｓｉｎθ
ですから，
Ｓ^2＝ａ^2ｂ^2（１−ｃｏｓ^2θ）
＝｜ａ↑｜^2｜ｂ↑｜^2−（ａ↑・ｂ↑）^2
＝｜ａ↑・ａ↑ ａ↑・ｂ↑｜
｜ｂ↑・ａ↑ ｂ↑・ｂ↑｜
で与えられます．内積の行列式で定義される行列式をグラムの行列式（グラミアン）といいます．平行四辺形の面積はグラミアンの平方根に等しくなるというわけです．これを座標を使って表せば，
Ｓ^2＝｜ｘ1 ｘ2｜^2
｜ｙ1 ｙ2｜
のように展開されます．
３次元ベクトル
ａ↑＝（ｘ1，ｙ1，ｚ1）
ｂ↑＝（ｘ2，ｙ2，ｚ2）
のときは，
Ｓ^2＝｜ａ↑｜^2｜ｂ↑｜^2−（ａ↑・ｂ↑）^2
＝｜ｙ1 ｙ2｜^2＋｜ｚ1 ｚ2｜^2＋｜ｘ1 ｘ2｜^2
｜ｚ1 ｚ2｜ ｜ｘ1 ｘ2｜ ｜ｙ1 ｙ2｜
これは３次元ベクトル
（ｙ1ｚ2−ｚ1ｙ2，ｚ1ｘ2−ｚ2ｙ1，ｘ1ｙ2−ｙ1ｘ2）
の長さの形をしています．
これは平行六面体の体積
｜ａ↑・ａ↑ ａ↑・ｂ↑ ａ↑・ｃ↑｜ ｜ｘ1 ｙ1 ｚ1｜^2
Ｖ^2＝｜ｂ↑・ａ↑ ｂ↑・ｂ↑ ｂ↑・ｃ↑｜＝｜ｘ2 ｙ2 ｚ2｜
｜ｃ↑・ａ↑ ｃ↑・ｂ↑ ｃ↑・ｃ↑｜ ｜ｘ3 ｙ3 ｚ3｜
ではなく，平行四辺形の面積であることを注意しておきます．
ａ↑＝（ｘ1，ｙ1，ｚ1）
ｂ↑＝（ｘ2，ｙ2，ｚ2）
の外積は，３次元ベクトル
（ｙ1ｚ2−ｚ1ｙ2，ｚ1ｘ2−ｚ2ｙ1，ｘ1ｙ2−ｙ1ｘ2）
で与えられます．すなわち，外積の大きさ＝平行四辺形の面積なのです．
少し見ただけではわかりにくい表示で，憶えるのも大変そうですが，行列式を使うと
｜ｅ1↑ ｅ2↑ ｅ3↑｜
ｃ↑＝ａ↑×ｂ↑＝｜ｘ1 ｙ1 ｚ1 ｜
｜ｘ2 ｙ2 ｚ2 ｜
上の行から，単位ベクトル，ａ↑の成分，ｂ↑の成分の順に並ぶというわかりやすい形に整理できます．
同様に，４次元のときは
ａ↑＝（ｘ1，ｙ1，ｚ1，ｗ1）
ｂ↑＝（ｘ2，ｙ2，ｚ2，ｗ2）
Ｓ^2＝｜ａ↑｜^2｜ｂ↑｜^2−（ａ↑・ｂ↑）^2
＝｜ｙ1 ｙ2｜^2＋｜ｚ1 ｚ2｜^2＋｜ｘ1 ｘ2｜^2
｜ｚ1 ｚ2｜ ｜ｘ1 ｘ2｜ ｜ｙ1 ｙ2｜
＋｜ｘ1 ｘ2｜^2＋｜ｙ1 ｙ2｜^2＋｜ｚ1 ｚ2｜^2
｜ｗ1 ｗ2｜ ｜ｗ1 ｗ2｜ ｜ｗ1 ｗ2｜
これは６次元ベクトルの長さの形をしていることがわかります．
一般のｎ次元の空間では
ａ↑＝（ｕ1，・・・，ｕn）
ｂ↑＝（ｖ1，・・・，ｖn）
に対し，
Ｓ^2＝｜ａ↑｜^2｜ｂ↑｜^2−（ａ↑・ｂ↑）^2
＝Σ（ｕjｖk−ｕkｖj）^2
ただし，Σはｊ＜ｋとなるnＣ2＝ｎ（ｎ−１）／２組に対して和をとるものとします．
これは，ｎ（ｎ−１）／２次元ベクトルの長さの形をしているのですが，空間の次元が３のときだけ，運よく３次元ベクトルが得られていることがおわかり頂けたしょうか？ この事実は，外積が３次元ベクトルでしか定義できないことを示しています．
ベクトルの外積は３次元特有のもので，２次元でも４次元でもだめなのですが，ほとんどの物理現象は３次元空間で生じますから，これでも汎用性は高いというわけです．
また，このことは，ベクトルの内積が一般のｎ次元空間でも
ａ↑・ｂ↑＝Σｕkｖk
と表されるのと対照的です．もっとも４次元以上では２つのベクトルａ↑，ｂ↑の張る平面に直交する方向は一義ではなくなるので，話がおかしくなってしまうのですが・・・．
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