もし，置換多面体の体積が内接球で近似できるとしたら

　　Ｖn＝（ｎ＋１）^(n-1/2}／２^n/2・｛２／ｎ（ｎ＋１）｝^n

　　Ｖn＝（ｎ＋１）^(-1/2}・２^n/2／ｎ^n

〜　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・ｒ^n

　　ｒ^n〜ＶnΓ(n/2+1)／π^(n/2)

が成立しなければならない．

　ここでは偶数次元の場合（ｎ＝２ｋ）だけを扱うことにするが，

　　ｒ^2k〜Ｖ2kｋ！／π^k

＝（２ｋ＋１）^(-1/2}・２^k／（２ｋ）^2k・ｋ！／π^k

＝（２ｋ＋１）^(-1/2}・２^k／（２ｋ）^2k・ｋ！／π^k

＝（２ｋ＋１）^(-1/2}・（π／２ｋ^2）^k・ｋ！

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　また，切頂切稜面までの距離は

　　ｈj＝｛（ｊ＋１）（ｎ−ｊ）／２ｎ^2（ｎ＋１）｝^1/2

で与えられる．

　　ｈ0＝｛１／２ｎ（ｎ＋１）｝^1/2＝ｒ

とすると，

　　ｒ^2k＝｛１／２・２ｋ（２ｋ＋１）｝^k

　　ｋ！〜（２ｋ＋１）^(1/2}・（π／２ｋ^2）^-k｛４ｋ（２ｋ＋１）｝^-k

〜（２ｋ＋１）^(1/2}・｛２π（２ｋ＋１）／ｋ｝^-k

〜（２ｋ＋１）^(1/2}・｛２π（２ｋ＋１）／ｋ｝^-k

　　（２ｋ＋１）／２ｋ＝（１＋１／２ｋ）

　　（１＋１／２ｋ）^ｰk→ｅｘｐ（−１／２）

　　ｋ！〜（２ｋ＋１）^(1/2}・（４π）^-kｅｘｐ（−１／２）

であるから，まったくスターリング近似式に似ていない．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝