置換多面体の場合を計算したが，一般の場合も，切稜面方向からみるには，

　　ａ2ｘ2＋ａ3ｘ3＋・・・＋ａnｘn＝０

に正射影すればよい．そうすれば整数多面体の問題は，それが等差数列になるかどうかという問題に帰着される．

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【１】垂線の足

　直線ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０に点Ｐ（ｘ0，ｙ0）から下ろした垂線の足をＱ（Ｘ，Ｙ）とすると，

　　ａＸ＋ｂＹ＋ｃ＝０，（Ｙ−ｙ0）／（Ｘ−ｘ0）＝ｂ／ａ

より，

　　ｂ（Ｘ−ｘ0）−ａ（Ｙ−ｙ0）＝０・・・（１）

　また，

　　ａｘ0＋ｂｙ0＋ｃ＝ａｘ0＋ｂｙ0−ａＸ−ｂＹ＝−ａ（Ｘ−ｘ0）−ｂ（Ｙ−ｙ0）

より

　　ａ（Ｘ−ｘ0）＋ｂ（Ｙ−ｙ0）＝−（ａｘ0＋ｂｙ0＋ｃ）・・・（２）

　（１），（２）より，垂線の足は

　　Ｘ−ｘ0＝ａ（ａｘ0＋ｂｙ0＋ｃ）／（ａ^2＋ｂ^2）

　　Ｙ−ｙ0＝ｂ（ａｘ0＋ｂｙ0＋ｃ）／（ａ^2＋ｂ^2）

　また，点Ｐと直線の距離は（１）（２）の辺々２乗して足すと

　　（ａ^2＋ｂ^2）｛（Ｘ−ｘ0）^2＋（Ｙ−ｙ0）^2｝＝（ａｘ0＋ｂｙ0＋ｃ）^2

より，

　　（Ｘ−ｘ0）^2＋（Ｙ−ｙ0）^2＝｜ａｘ0＋ｂｙ0＋ｃ｜／（ａ^2＋ｂ^2）^1/2　　　（ヘッセの公式）

で与えられます．

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【２】高次元の場合は推して知るべし

　ＰnＰ1に垂直なｎ次元超平面では

　　ａ＝（０，−ａ2，・・・，−ａn）

　　ｃ1＝−（ａ2ｘ2＋・・・＋ａnｘn）＋（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）

　　ｃ1＝−（ａ2^2ｙ2＋・・・＋ａn^2ｙn）＋（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）

　　ｈ1＝｜ｃ1｜／‖ａ‖，‖ａ‖＝（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）^1/2

　ここで，

‖ａ‖^2＝ａ2^2＋・・・＋ａn^2

＝１／２・（ｎ−１）／２（ｎ＋１）

　　ａ2^2（１−ｙ2）＋・・・＋ａn^2（１−ｙn）

＝（ｎ−１）／２ｎ（ｎ＋１）

　　ａ2^2ｙ2＋・・・＋ａn^2ｙn

＝ａ2^2＋・・・＋ａn^2−｛ａ2^2（１−ｙ2）＋・・・＋ａn^2（１−ｙn）｝

となる．

　また，ｘj＝ａjｙjより，｜ａｘ0＋ｂｙ0＋ｃ｜に相当するものは

　　ａ2^2ｙ2＋・・・＋ａn^2ｙn

　　Ｘ−ｘ0＝ａ（ａｘ0＋ｂｙ0＋ｃ）／（ａ^2＋ｂ^2）

　　Ｙ−ｙ0＝ｂ（ａｘ0＋ｂｙ0＋ｃ）／（ａ^2＋ｂ^2）

に相当するものは

　　ａj（ａ2^2ｙ2＋・・・＋ａn^2ｙn）／（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）＝ａj（１−２／ｎ）

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【３】３次元置換多面体の場合

　形状ベクトル［１，１，１］の場合

　　ｙ1＝５／６

　　ｙ2＝１／２

　　ｙ3＝０

　　ａj＝√（１／２ｊ（ｊ＋１））

　　ａ1＝１／２，ａ2＝１／２√３，１／２√６

　　Ｘ−ａ1ｙ1＝ａ1／３

　　Ｙ−ａ2ｙ2＝ａ2／３

　　Ｚ−ａ3ｙ3＝ａ3／３

　　Ｘ＝ａ1（ｙ1＋１／３）

　　Ｙ＝ａ2（ｙ2＋１／３）

　　Ｚ＝ａ3（ｙ3＋１／３）

差はそれぞれ

　　ａ2ｙ2−ａ1ｙ1＋（ａ2−ａ1）／３＝−２／３＋５／１２√３

　　ａ3ｙ3−ａ2ｙ2＋（ａ3−ａ2）／３＝−５／１２√３＋１／６√６

　どこか計算がおかしいようである．

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