■多面体的組み合わせ論(その17)

 切稜面方向から置換多面体を見てみよう.

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 PnP0に垂直なn次元超平面が点Qを通るのだが,原点をPnに移した方が紛らわしくないので

  a=(−a1,−a2,・・・,−an)

  q=(x1−a1,x2−a2,x3−a3,・・・,xn−an)

とすると,この超平面をa・(x−q)=0,a・x=a・q=cで表すと

 PnP1に垂直なn次元超平面では

  a=(0,−a2,・・・,−an)

  c1=−(a2x2+・・・+anxn)+(a2^2+・・・+an^2)

  c1=−(a2^2y2+・・・+an^2yn)+(a2^2+・・・+an^2)

  h1=|c1|/‖a‖,‖a‖=(a2^2+・・・+an^2)^1/2

 ここで,

  a2^2+・・・+an^2

=1/2(1/2・3+・・・+1/n・(n+1))

=1/2(1/2−1/3+・・・+1/n−1/(n+1))

=1/2(1/2−1/(n+1))

=1/2・(n−1)/2(n+1)

  a2^2y2+・・・+an^2yn

=1/2(1/2・3−1/n(n+1))+・・・+1/2(1/n・(n+1)−1/n(n+1))

=1/2(1/2・3+・・・+1/n・(n+1)−n/n(n+1))

=1/2(1/2−1/(n+1)−(n−1)/n(n+1))

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

  1−y1=(1・2)/n(n+1)

  1−y2=2(1+2)/n(n+1)=(2・3)/n(n+1)

  1−y3=2(1+2+3)/n(n+1)=(3・4)/n(n+1)

  1−yn=2(1+2+3+・・・+n)/n(n+1)=n(n+1)/n(n+1)=1

  a1^2(1−y1)=1/2(1・2)・(1・2)/n(n+1)=1/2n(n+1)

  a2^2(1−y2)=1/2(2・3)・(2・3)/n(n+1)=1/2n(n+1)

  a3^2(1−y3)=1/2(3・4)・(3・4)/n(n+1)=1/2n(n+1)

  an^2(1−yn)=1/2(n・n+1)・(n・n+1)/n(n+1)=1/2n(n+1)

を用いた方が計算がやさしい.

 ここで,

  a2^2+・・・+an^2=1/2(1/2・3+・・・+1/n・(n+1))

=1/2(1/2−1/3+・・・+1/n−1/(n+1))

=1/2(1/2−1/(n+1))

=1/2・(n−1)/2(n+1)

  a2^2(1−y2)+・・・+an^2(1−yn)

=(n−1)/2n(n+1)

  a2^2y2+・・・+an^2yn

=1/2(1/2−1/(n+1)−(n−1)/n(n+1))

=1/2・(n−1)/2(n+1)−(n−2)/2n(n+1)

=a2^2+・・・+an^2−{a2^2(1−y2)+・・・+an^2(1−yn)}

となり,再確認できた.

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