正軸体系の（１，・・・，１，０）は単純多面体で，その座標は，

　　（０，±１，±２，・・・，±ｎ−１）

の置換２^n-1・ｎ！個であることがわかる．たとえば，ｎ＝４の場合，

　　（０，±１，±２，，±３）→１９２個

　単純多面体であるから，辺数はｎ／２・２^n-1・ｎ！，ファセット数は３^n−１−２^(n-1)ｎと準正多面体である．

［Ｑ］これ以外に整数多面体となる準多面体は存在するだろうか？

　正軸体系では立方体・正軸体以外の整数多面体を構成したので，正単体系の整数多面体が存在するかどうか，調べてみよう．

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【１】置換多面体の切頂・切稜点（その１）

　　Ｐ0（０，・・・，０）

　　Ｐ1（ａ1，０，・・・，０）

　　Ｐ2（ａ1，ａ2，０，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・

　　Ｐn（ａ1，・・・，ａn）

　　ａj＝√（１／２ｊ（ｊ＋１））

　　ｘj／ａj＝ｙj，ｙ0＝１，ｙn＝０（ｘn＝０）

とおく．

　　１／ａj-1^2＋１／ａj^2＝２（ｊ−１）ｊ＋２ｊ（ｊ＋１）＝（２ｊ）^2

より

　　（ｙj-1−ｙj）／（１／ａj-1^2＋１／ａj^2）^1/2＝（ｙj−ｙj+1）／（１／ａj^2＋１／ａj+1^2）^1/2

は

　　（ｙj-1−ｙj）／２ｊ＝（ｙj−ｙj+1）／２（ｊ＋１）

となる．

　点Ｑ（ｘ1，ｘ2，・・・，ｘn-1，０）から，

　　ｘ1＝ａ1平面

　　ｘ1／ａ1−ｘ2／ａ2＝０平面

　　・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｘn-2／ａn-2−ｘn-1／ａn-1＝０平面

までの距離が等しいことより，

　　（ｙ0−ｙ1）＝（ｙ1−ｙ2）／２＝（ｙ2−ｙ3）／３＝・・・＝（ｙn-2−ｙn-1）／（ｎ−１）＝（ｙn-1−ｙn）／ｎ

　　２（ｙ0−ｙ1）＝（ｙ1−ｙ2）

　　３（ｙ1−ｙ2）＝２（ｙ2−ｙ3）

　　４（ｙ2−ｙ3）＝３（ｙ3−ｙ4）

　　・・・・・・・・・・・・・・・

　　（ｎ−１）（ｙn-3−ｙn-2）＝（ｎ−２）（ｙn-2−ｙn-1）

　　ｎ（ｙn-2−ｙn-1）＝（ｎ−１）（ｙn-1−ｙn）

　第ｘ行まで足しあわせて整理すると

　　２（ｙ0−ｙn-1）＝（ｎ−１）（ｙn-1−ｙn）→ｙn-1＝（２ｙ0＋（ｎ−１）ｙn）／（ｎ＋１）

　　２（ｙ0−ｙn-2）＝（ｎ−２）（ｙn-2−ｙn-1）→ｙn-2＝（２ｙ0＋（ｎ−２）ｙn-1）／ｎ

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　２（ｙ0−ｙ2）＝２（ｙ2−ｙ3）→ｙ2＝（２ｙ0＋２ｙ3）／４

　　２（ｙ0−ｙ1）＝（ｙ1−ｙ2）→ｙ1＝（２ｙ0＋ｙ2）／３

　具体的には

　　ｙn-1＝２／（ｎ＋１）

　　ｙn-2＝（２＋２（ｎ−２）／（ｎ＋１））／ｎ＝２（２ｎ−１）／ｎ（ｎ＋１）

　　ｙn-3＝２（１＋（ｎ−３）（２ｎ−１）／ｎ（ｎ＋１））／（ｎ−１）＝２（２ｎ−１）／ｎ（ｎ＋１）＝６（ｎ−１）／ｎ（ｎ＋１）

となるが，

　　ｙj＝（２＋ｊｙj+1）／（ｊ＋２）

のままにしておく．

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【２】置換多面体の切頂・切稜点（その２）

　とはいっても，このままでは難しいので，反転公式を作ると，

　　（ｊ＋２）ｙj＝２＋ｊｙj+1

　　（ｊ＋２）ｙj−２＝ｊｙj+1

　　ｙj+1＝（（ｊ＋２）ｙj−２）／ｊ

しかし，これはｊ＝０には対応していない．

　そこで，

　　（ｙ0−ｙ1）＝（ｙ1−ｙ2）／２＝（ｙ2−ｙ3）／３＝・・・＝（ｙn-2−ｙn-1）／（ｎ−１）＝（ｙn-1−ｙn）／ｎ＝２／ｎ（ｎ＋１）

を用いると

　　１−ｙ1＝２／ｎ（ｎ＋１）

　　ｙ1−ｙ2＝２・２／ｎ（ｎ＋１）

　　ｙ2−ｙ3＝２・３／ｎ（ｎ＋１）

　　ｙn-2−ｙn-1＝２・（ｎ−１）／ｎ（ｎ＋１）

　　ｙn-1−ｙn＝２・ｎ／ｎ（ｎ＋１）＝２／（ｎ＋１）

が得られる．

　これは，

　　ｙn-2＝（２＋２（ｎ−２）／（ｎ＋１））／ｎ＝２（２ｎ−１）／ｎ（ｎ＋１）

　　ｙn-3＝２（１＋（ｎ−３）（２ｎ−１）／ｎ（ｎ＋１））／（ｎ−１）＝２（２ｎ−１）／ｎ（ｎ＋１）＝６（ｎ−１）／ｎ（ｎ＋１）

も満たしているはずである．

　　ｙn-2−ｙn-1＝２（２ｎ−１）／ｎ（ｎ＋１）−２／（ｎ＋１）＝２（ｎ−１）／ｎ（ｎ＋１）

　　ｙn-3−ｙn-2＝６（ｎ−１）／ｎ（ｎ＋１）＝２（２ｎ−１）／ｎ（ｎ＋１）＝２（ｎ−２）／ｎ（ｎ＋１）

　さらに，これらをｘｘ行まで足しあわせると，

　　１−ｙ1＝２（１）／ｎ（ｎ＋１）

　　１−ｙ2＝２（１＋２）／ｎ（ｎ＋１）

　　１−ｙ3＝２（１＋２＋３）／ｎ（ｎ＋１）

　　１−ｙn＝２（１＋２＋３＋・・・＋ｎ）／ｎ（ｎ＋１）＝１

　　ｙ1＝１−１・２／ｎ（ｎ＋１）

　　ｙ2＝１−２・３／ｎ（ｎ＋１）

　　ｙ3＝１−３・４／ｎ（ｎ＋１）

　　ｙn＝１−ｎ（ｎ＋１）／ｎ（ｎ＋１）＝０

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