［１］体積近似の難しさ

　単位球Ｂ^nのなかの凸多面体Ｐで，頂点数がｎの多項式になっているものは，どれも球の体積を近似しないことが知られている．

　頂点数がＮのときの評価は

　　ｖｏｌＰ／ｖｏｌＢ^n≦（ｃｌｏｇ（Ｎ／ｎ＋１）／ｎ）^n/2

を満たす定数ｃが存在するから，頂点数がｎに関して指数関数的でない限り，体積近似しないのである．

　したがって，正単体ｎ＋１，正軸体２ｎはＮＧ，立方体２^nはＯＫということになる．

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［２］楕円体による凸体の近似

　１辺の長さが１の正単体の内接球，外接球の半径はそれぞれ，

　　１／√２ｎ（ｎ＋１），√ｎ／２（ｎ＋１）

で，その比は１：ｎである．

　したがって，凸体Ｋは内側と外側から相似比１：ｎの相似な楕円体で近似できる．中心対称な場合は相似比を１：√ｎに改善できる．

　どちらの比も最善である．一般の場合は正単体を，中心対称な場合は立方体を考えればよい．

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