超立方体，正軸体，正単体の体積はスターリングの公式を導出するのに有効には働かないので，このシリーズでは別の体積可測なｎ次元立体（２^n＋２ｎ胞体）を構成し，その体積を比較することによって幾何学的証明を試みている．

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【１】超立方体の球体近似

　球の体積

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・ｒ^n

とｎ次元立方体［−１，１］^nの体積

　　２^n

を等しいとおいて半径を求めるが，ここでは偶数次元の場合（ｎ＝２ｋ）だけを扱うことにする．

　　２^n＝２^2k

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・ｒ^n＝π^k/ｋ！・ｒ^2k

したがって，

　　ｒ^2k≒ｋ！・（４／π）^k

　　ｒ^2≒（ｋ！）^1/k・（４／π）＝（（ｎ／２）！）^2/n・（４／π）

となるような球がbest fitすることになる．ｒ^2＝１〜ｎ．

　そこで，best fitする球（ｒ^2＝ｎ−ｊ）を考えると，ｎ→∞のとき，ｊ／ｎあるいは（ｎ−ｊ）／ｎ＝１−ｊ／ｎの収束を調べるという問題になる．

　　（（ｎ／２）！）^-2/nπ／４＝１／（ｎ−ｊ）

　　（（ｎ／２）！）^-2（π／４）^n＝（ｎ−ｊ）^-n

　　（π／４）^n＝（ｎ−ｊ）^-n｛（ｎ／２）！｝^2

　スターリングの公式を使って

　　（ｎ／２）！→√（πｎ）（ｎ／２）^n/2ｅｘｐ（−ｎ／２）

とするのは正しくない．相対誤差は０に近づくが絶対誤差は無限大に発散するからである．そこで，

　　（π／４）^n＝（ｎ−ｊ）^-n｛（ｎ／２）！｝^2

の両辺を

　　｛√（πｎ）（ｎ／２）^n/2ｅｘｐ（−ｎ／２）｝^2＝πｎ（ｎ／２）^nｅｘｐ（−ｎ）

で割ってから，極限をとってみよう．

　すると

　　左辺＝（πｅ／２ｎ）^n／πｎ

　　右辺＝（ｎ−ｊ）^-n

となるから，さらに両辺にｎ^nをかけてから極限をとると

　　左辺＝（πｅ／２）^n／πｎ

　　右辺＝ｅｘｐ（ｊ）

　　ｊ→ｎｌｏｇ（πｅ／２）−ｌｏｇ（πｎ）→ｎｌｏｇ（πｅ／２）

　　（ｎ−ｊ）／ｎ→１−ｌｏｇ（πｅ／２）

となり収束する．

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【２】正軸体の球体近似

　正軸体は４次元を除き空間充填多面体にならないが，球の体積

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・ｒ^n

と１辺の長さ１のｎ次元正軸体の体積

　　２^n／ｎ！

を等しいとおいて半径を求めてみる．

　偶数次元の場合（ｎ＝２ｋ）だけを扱うことにするが，

　　２^n／ｎ！＝２^2k／（２ｋ）！

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・ｒ^n＝π^k/ｋ！・ｒ^2k

したがって，

　　ｒ^2k≒（ｋ！／（２ｋ）！）・（４／π）^k

　　ｒ^2≒（ｋ！／（２ｋ）！）^1/k・（４／π）＝（（ｎ／２）！／ｎ！）^2/n・（４／π）

となるような球がbest fitすることになる．

　１辺の長さ１の正軸体の内接球と外接球の半径は，それぞれ

　　√１／２ｎ，√１／２

　そこで，best fitする球（ｒ^2＝１／２（ｎ−ｊ））を考えると，ｎ→∞のとき，ｊ／ｎあるいは（ｎ−ｊ）／ｎ＝１−ｊ／ｎの収束を調べるという問題になる．

　　（（ｎ／２）！／ｎ！）^-2/nπ／４＝２（ｎ−ｊ）

　　（（ｎ／２）！／ｎ！）^-2（π／４）^n＝２^n（ｎ−ｊ）^n

　　（π／８）^n＝（ｎ−ｊ）^n｛（ｎ／２）！／ｎ！｝^2

　ここで，

　　（π／８）^n＝（ｎ−ｊ）^n｛（ｎ／２）！／ｎ！｝^2

の両辺を

　　｛√（πｎ）（ｎ／２）^n/2ｅｘｐ（−ｎ／２）｝^2＝πｎ（ｎ／２）^nｅｘｐ（−ｎ）

で割って

　　｛√（２πｎ）（ｎ）^nｅｘｐ（−ｎ２）｝^2＝２πｎ（ｎ）^2nｅｘｐ（−２ｎ）

を掛けてから，すなわち，

　　２（２ｅｎ）^n

を掛けてから，極限をとってみよう．

　すると

　　左辺＝２（πｅｎ／４）^n

　　右辺＝（ｎ−ｊ）^n

となるから，さらに両辺をｎ^nで割ってから極限をとると

　　左辺＝２（πｅ／４）^n

　　右辺＝ｅｘｐ（−ｊ）

　　−ｊ→ｎｌｏｇ（πｅ／４）＋ｌｏｇ２→ｎｌｏｇ（πｅ／４）

　　（ｎ−ｊ）／ｎ→１＋ｌｏｇ（πｅ／４）

となり，収束する．

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【２】正単体の球体近似

　球の体積

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・ｒ^n

と辺の長さ１のｎ次元正単体の体積

　　（ｎ＋１）^1/2／２^n/2ｎ！

を等しいとおいて半径を求めてみる．

　偶数次元の場合（ｎ＝２ｋ）だけを扱うことにするが，

　　（ｎ＋１）^1/2／２^n/2ｎ！＝（２ｋ＋１）^1/2／２^k（２ｋ）！

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・ｒ^n＝π^k/ｋ！・ｒ^2k

したがって，

　　ｒ^2k≒（ｋ！／（２ｋ）！）・（２ｋ＋１）^1/2／２^kπ^k

　　ｒ^2≒（ｋ！／（２ｋ）！）^1/k・（２ｋ＋１）^1/2k／π＝（（ｎ／２）！／ｎ！）^2/n・（ｎ＋１）^1/n／２π

となるような球がbest fitすることになる．

　１辺の長さ１の正単体の内接球と外接球の半径は，それぞれ

　　√１／２ｎ（ｎ＋１）,√ｎ／２（ｎ＋１）

であるから，そこで，best fitする球（ｒ^2＝１／（ｎ−ｊ）^2）を考えると，ｎ→∞のとき，ｊ／ｎあるいは（ｎ−ｊ）／ｎ＝１−ｊ／ｎの収束を調べるという問題になる．

　　（（ｎ／２）！／ｎ！）^-2/nπ／（ｎ＋１）^1/n＝（ｎ−ｊ）^2

　　（（ｎ／２）！／ｎ！）^-2π^n／（ｎ＋１）＝（ｎ−ｊ）^2n

　　π^n／（ｎ＋１）＝（ｎ−ｊ）^2n｛（ｎ／２）！／ｎ！｝^2

　ここで，

　　π^n／（ｎ＋１）＝（ｎ−ｊ）^2n｛（ｎ／２）！／ｎ！｝^2

の両辺を

　　｛√（πｎ）（ｎ／２）^n/2ｅｘｐ（−ｎ／２）｝^2＝πｎ（ｎ／２）^nｅｘｐ（−ｎ）

で割って

　　｛√（２πｎ）（ｎ）^nｅｘｐ（−ｎ２）｝^2＝２πｎ（ｎ）^2nｅｘｐ（−２ｎ）

を掛けてから，すなわち，

　　２（２ｅｎ）^n

を掛けてから，極限をとってみよう．

　すると

　　左辺＝２（２πｅｎ）^n／（ｎ＋１）

　　右辺＝（ｎ−ｊ）^2n

となるから，さらに両辺をｎ^2nで割ってから極限をとると

　　左辺＝２（２πｅ／ｎ）^n／（ｎ＋１）

　　右辺＝ｅｘｐ（−２ｊ）

　　−２ｊ→ｎｌｏｇ（２πｅ／ｎ）＋ｌｏｇ２／（ｎ＋１）→ｎｌｏｇ（２πｅ／ｎ）

　　（ｎ−ｊ）／ｎ→（１＋ｌｏｇ（２πｅ／ｎ））／２

となり，収束しない．

［雑感］この結果は（その３３）−（その３８）の結果と整合しているように思える．当初は，面数２（２^n−１）の空間充填多面体（置換多面体，頂点数（ｎ＋１）！）を使えばよりよい上界・下界評価が可能になるかもしれないとかんがえていたのであるが，３^n−１面体に期待を掛けたい．

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