Σlogk〜(n+1/2)･logn-n+C

　　C=1-1/12+1/360-1/1260+1/1680--･･･

定数Ｃは

　　Ｃ＝１／２・ｌｏｇ２π＝−ζ’（０）

で与えられる．

　一方，

　　−ζ’(1-s)＝（2^(1-s)π^-sζ(s)Γ(s)）’cosπs/2−（2^(1-s)π^-sζ(s)Γ(s)）・π/2sinπs/2

となって，ｓが奇数のとき，-ζ’(1-s)とζ(s)の関係を計算することができる．

［１］ｓ＝３

　　−ζ’(−２)＝１／４・π^-3ζ(３)・２・π／２＝ζ（３）／４π^2

［２］ｓ＝５

　　−ζ’(−４)＝１／１６・π^-5ζ(５)・２４・π／２＝３ζ（５）／４π^4

［３］ｓ＝１

　　−ζ’(０)＝−π^-1ζ(０)・π／２＝−ζ（０）／２

であるから，ζ（０）＝１／２でなく，ζ（０）＝−ｌｏｇ２πで計算していることになる．

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　　ζ(s)=2Γ(1-s)sin(πs/2)(2π)^(s-1)ζ(1-s)

　　ζ(1-s)=2Γ(s)sin(π(1-s)/2)(2π)^(-s)ζ(s)

　　ζ(1-s)=（2Γ(s)(2π)^(-s)ζ(s)）sin(π(1-s)/2)

　　−ζ’(1-s)=（2Γ(s)(2π)^(-s)ζ(s)）’sin(π(1-s)/2)-（2Γ(s)(2π)^(-s)ζ(s)）・π/2cosπ(1-s)/2

でも，ｓが奇数のとき，-ζ’(1-s)とζ(s)の関係を計算することができる．

［１］ｓ＝３

　　−ζ’(−２)＝４（２π）^-3ζ(３)・π／２＝ζ（３）／４π^2

［２］ｓ＝５

　　−ζ’(−４)＝４８（２π）^-5ζ(５)・π／２＝３ζ（５）／４π^4

［３］ｓ＝１

　　−ζ’(０)＝−２（２π）^-1ζ(０)・π／２＝−ζ（０）／２

であるから，ζ（０）＝１／２でなく，ζ（０）＝−ｌｏｇ２πで計算していることになる．

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［雑感］

　実はｓが偶数のときの-ζ’(1-s)とζ(s)の関係を計算することができるのではときたいしていたのであるが，

　　−ζ’(1-s)=（2Γ(s)(2π)^(-s)ζ(s)）’sin(π(1-s)/2)-（2Γ(s)(2π)^(-s)ζ(s)）・π/2cosπ(1-s)/2

は

　　−ζ’(1-s)=（2Γ(s)(2π)^(-s)ζ(s)）’cosπs/2-（2Γ(s)(2π)^(-s)ζ(s)）・π/2sinπs/2

となって

　　−ζ’(1-s)＝（2^(1-s)π^-sζ(s)Γ(s)）’cosπs/2−（2^(1-s)π^-sζ(s)Γ(s)）・π/2sinπs/2

とまったく同じである（残念！）．

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