１が連続する数を１の反復数（レプユニット）という．

１＝１

１１＝１１（素数）

１１１＝３・３７

１１１１＝１１・１０１

１１１１１＝４１・２７１

１１１１１１＝３・７・１１・１３・３７

１１１１１１１＝２３９・４６４９

１１１１１１１１＝１１・７３・１０１・１３７

１１１１１１１１１＝３・３・３７・３３３６６７

１１１１１１１１１１＝１１・４１・２７１・９０９１

１１１１１１１１１１１＝２１６４９・５１３２３９

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【１】レプユニット型素数

　１０進法表記で１がｎ個並ぶｎ桁のレプユニットは

　　Ｒn＝（１０^n−１）／９

の形に書くことができる．１以外の数，たとえば７がｎ個並ぶ数は７で割れるから素数ではない．１の場合だけが明らかではないのだが，

ｎ＝２：１１（素数）

ｎ＝３：３・３７

ｎ＝６：３・７・１１・１３・３７

ｎ＝９：３・３・３７・３３３６６７

ｎ＝１８：３・３・７・１１・１３・１９・３７・５２５７９・３３３６６７

　それでは，

（Ｑ）３桁以上のレプユニットはすべて素数ではないのだろうか？

（Ａ）No.

　Ｒnが素数ならば，ｎは素数でなければならないのであるが，まず，ｎが偶数の場合をみてみよう．

［１］ｎ＝４ｍ＋２の場合

　　Ｒ2＝１１（素数）

　　Ｒ6＝Ｒ2・Ｒ3・９１

　　Ｒ10＝Ｒ2・Ｒ5・９０９１

　　Ｒ14＝Ｒ2・Ｒ7・９０９０９１

　　Ｒ18＝Ｒ2・Ｒ9・９０９０９０９１

あるいは

　　Ｒ2＝１１（素数）

　　Ｒ6＝Ｒ3・１００１

　　Ｒ10＝Ｒ5・１００００１

　　Ｒ14＝Ｒ7・１００００００１

　　Ｒ18＝Ｒ9・１００００００００１

［２］ｎ＝４ｍの場合

　　Ｒ4＝１１・１０１

　　Ｒ8＝１１・１０１・１００１

　　Ｒ12＝１１・１０１・１０００１０００１

　　Ｒ16＝１１・１０１・１０００１０００１０００１

　結局，偶数桁（ｎ＝２ｍ）ならば

　　Ｒn＝Ｒ2m＝｛（１０^m−１）・１０^m＋（１０^m−１）｝／９

＝｛（１１・・１）・１０^m＋（１１・・１）｝

＝Ｒm（１０^m＋１）

＝Ｒm（１０＋１）（１０^m-1−１０^m-2＋・・・±１）

＝Ｒ2・Ｒm（１０^m-1−１０^m-2＋・・・±１）

１１，Ｒmで割り切れることがいえる．

［３］ｎが素数の場合

　たとえば，ｎ＝２（１１）は素数である．ｎ＝１３は５３・７９・２６５３７４６５３であるが，ｎ＝１７は２０７１７２３と５３６３２２２３５７の２つの素因数しかもっていないがこれを探すだけでも大変なことである．ｎ＝２９の場合は，３１９１・１６７６３・４３０３７・６２００３・７７８４３８３９３９７となる．

　ｎ＝２，１９，２３，３１７，１０３１の場合，Ｒnは素数であることが知られている．素数と思われるが証明されていないレプユニット型素数はｎ＝４９０８１と８６４５３であるが，いまのところ，これ以外のレプユニット型素数は知られておらず，レプユニット型素数が無限個あるのかどうかは未解決である．

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　２進法表記で１がｎ個並ぶｎ桁のレプユニットは

　　Ｒn＝（２^n−１）／１

の形に書くことができる．これが素数となるのが

　　メルセンヌ素数：２^n−１型素数

である．

　３進法表記で１がｎ個並ぶｎ桁のレプユニットは

　　Ｒn＝（３^n−１）／２

の形に書くことができる．

　　Ｒ3＝１３，Ｒ7＝１０９３

などは素数になる．これも偶数桁（ｎ＝２ｍ）ならば４で割り切れることがいえる．

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