ここでは，

　　Σｋ^4ｌｏｇｋ

について考えてみる．定数Ｃは

　　Ｃ＝−ζ’（−３）

で与えられるだろうか？

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^4ｌｏｇｘ 　　　ｆ^(5)（ｘ）＝２４／ｘ

　　ｆ’（ｘ）＝４ｘ^3ｌｏｇｘ＋ｘ^3　　　ｆ^(6)（ｘ）＝−２４／ｘ^2

　　ｆ”（ｘ）＝１２ｘ^2ｌｏｇｘ＋７ｘ^2 ｆ^(7)（ｘ）＝４８／ｘ^3

　　ｆ^(3)（ｘ）＝２４ｘｌｏｇｘ＋２４ｘ ｆ^(8)（ｘ）＝−１４４／ｘ^4

　　ｆ^(4)（ｘ）＝２４ｌｏｇｘ＋４８　　　ｆ^(9)（ｘ）＝５７６／ｘ^5

より，

　　ｆ^(k)（ｘ）＝(-1)^k-1２４（ｋ−５）！／ｘ^k-4

　　ｆ^(2k-1)（ｘ）＝２４（２ｋ−６）！／ｘ^2k-5

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　　Σ(1,n)k^4logk〜∫(1,n)x^4logxdx+(f(n)+f(1))/2+ΣB2k/(2k)!(f^(2k-1)(n)-f^(2k-1)(1))+R

　　∫(1,n)x^4logxdx=[x^5/5･logx]-∫(1,n)x^4/5dx=n^5/5･logn-n^5/25+1/25

　　(f(n)+f(1))/2=n^4logn/2

　　(f'(n)-f'(1))/12=1/12･(4n^3logn+n^3-1)

　　(f^(3)(n)-f^(3)(1))/720=(24nlogn+24n-24)/720

　　(f^(5)(n)-f^(5)(1))/30240=(24/n-24)/30240

　　(f^(7)(n)-f^(7)(1))/1209600=(48/n^3+48)/1209600

　　B2k/(2k)!(f^(2k-1)(n)-f^(2k-1)(1))=-6B2k/(2k)!（２ｋ−５）！（１／ｘ^2k-4−１）→-6B2k/(2k)(2k-1)(2k-2)(2k-3)(2k-4)

　　Σk^4logk〜(n^5/5+n^4/2+n^2/3-n/30)･logn-n^5/25+n^3/12-n/30+C

　　C=1/25-1/12+1/30-1/1260+1/25200-･･･

　　Σk^4logk〜(n^5/5+n^4/2+n^2/3-n/30)･logn-n^5/25+n^3/12-n/30-6ΣB2k/(2k)(2k-1)(2k-2)(2k-3)(2k-4)

　　K=3~

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