（その６）の

　　Σ(1,n)klogk〜∫(1,n)xlogxdx+(f(n)+f(1))/2+ΣB2k/(2k)!(f^(2k-1)(n)-f^(2k-1)(1))+R

のベルヌーイ数を

　　Ｂ2k＝（−１）^k-1 ・２（２ｋ）！／（２π）^2k・ζ（２ｋ）

で置き換えると，

　　Σ(1,n)klogk〜∫(1,n)xlogxdx+(f(n)+f(1))/2+Σ2(-1)^k-1/(2π)^2kζ(2k)(f^(2k-1)(n)-f^(2k-1)(1))+R

となって，ゼータ関数との関係が明らかになる．

　ベルヌーイ数Ｂnはゼータ関数

　　ζ(2s)＝Σ１／ｎ^2s＝１／１^2s＋１／２^2s＋１／３^2s＋１／４^2s＋・・・

の計算にも重要な役割を果たしているのである．

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　具体的に係数Ｂn を求めてみましょう．有名なベルヌーイ数列｛Ｂn ｝の指数型母関数はｘ／（ｅｘｐ（ｘ）−１）で与えられます．すなわち，ベルヌーイ数は

ｘ／（ｅｘｐ（ｘ）−１）

＝Ｂ0/0!＋Ｂ1／１！ｘ＋Ｂ2 ／２！ｘ^2＋Ｂ3／３！ｘ^3＋・・・

＝ΣＢnｘ^n／ｎ！

で定義される有理数で，係数Ｂn はベルヌーイ数と呼ばれます．

　容易にわかるように

　　lim(x→0)ｘ／（ｅｘｐ（ｘ）−１）=1

が成立します．

　また，定義より，ベルヌーイ級数はべき級数

（ｅｘｐ（ｘ）−１）／ｘ＝１＋１／２！ｘ1＋１／３！ｘ^2＋１／４！ｘ^3＋・・・

の反転級数と考えることができます．

ｅｘｐ（ｘ）＝１＋１／１！ｘ＋１／２！ｘ^2＋・・・

ですから

ｘ／（ｅｘｐ（ｘ）−１）

=x/(x+x^2/2!+x^3/3!+･･･)

=1/(1+x/2!+x^2/3!+･･･)

=1-(1+x/2!+x^2/3!+･･･)+(1+x/2!+x^2/3!+･･･)^2-･･･

=1-1/2x+1/6x^2-1/30x^4+･･･

　これより，Ｂ0=1,Ｂ1 ＝−１／２で

ｘ／（ｅｘｐ（ｘ）−１）−Ｂ1 ／１！ｘ＝ｘ／２・（ｅｘｐ（ｘ）＋１）／（ｅｘｐ（ｘ）−１）

は偶関数ですから，奇数項は第一項以外は０で，偶数項は

　　Ｂ2 ＝１／６，Ｂ4 ＝−１／３０，Ｂ6 ＝１／４２，Ｂ8 ＝−１／３０，Ｂ10＝５／６６，Ｂ12＝−６９１／２７３０，Ｂ14＝７／６，Ｂ16＝−３６１７／５１０，Ｂ18＝４３８６７／７９８

で，あとは分子が急速に大きくなり，たとえば，

　　Ｂ32＝−７７０９３２１０４１２１７／５１０，

　　Ｂ34＝２５７７６８７８５８３６７／６です．

分母は必ず６で割り切れます．

　ベルヌーイ数については，再帰公式

　　（Ｂ＋１）^n-Ｂ＾n=０

が成り立ちます．ただし，２項展開してからB^nをBnで置き換えることにします．

　ベルヌーイ数は数多くの魅惑的な整数論的特性をもっていて，ベキ和の公式だけでなく正則素数の判定などにも顔を出す興味深い数となっています．

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