■正三角形の縮小三角形(その9)

 (その7)の計算を続行する.

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  LM=(λ^2a+λb+c)/(1+λ+λ^2)

  MN=(λ^2b+λc+a)/(1+λ+λ^2)

  NL=(λ^2c+λa+b)/(1+λ+λ^2)

a+b+c=0より,

  LM=((λ^2−1)a+(λ−1)b)/(1+λ+λ^2)

  LM=((λ+1)a+b)(λ−1)/(1+λ+λ^2)

  MN=−((λ−1)a−(λ^2−λ)b)/(1+λ+λ^2)

  MN=−(a−λb)(λ−1)/(1+λ+λ^2)

  NL=−((λ^2−λ)a+(λ^2−1)b)/(1+λ+λ^2)

  NL=−(λa+(λ+1)b)(λ−1)/(1+λ+λ^2)

 したがって, 縮小三角形がもとの三角形と相似とすると,面積の関係から長さの相似比は

  (λ−1)/√(λ^2+λ+1)

である.したがって,LM^2,MN^2,NL^2は

  a^2,b^2,c^2/(λ^2+λ+1)

のいずれかに等しくなる.すなわち,

  (a^2,b^2,c^2)(λ^2+λ+1)

のいずれかに等しくなる.

 この形で方程式を作るが,同じ向きに相似なとき,それぞれの辺が最も近い辺に比例すると仮定すると

  c^2=a^2+2a・b+b^2,2a・b=c^2−a^2−b^2

より

  (λ+1)^2a^2+b^2+2(λ+1)a・b=c^2(λ^2+λ+1)

  λ(λ+1)a^2−λb^2+(λ+1)c^2=c^2(λ^2+λ+1)

  a^2+λ^2b^2−2λa・b=a^2(λ^2+λ+1)

  (λ+1)a^2+λ(λ+1)b^2−λc^2=a^2(λ^2+λ+1)

  λ^2a^2+(λ+1)^2b^2+2λ(λ+1)a・b=b^2(λ^2+λ+1)

  −λa^2+(λ+1)b^2+λ(λ+1)c^2=b^2(λ^2+λ+1)

→−a^2−λb^2+(λ+1)c^2=0

  (λ+1)a^2−b^2−λc^2=0

 −λa^2+(λ+1)b^2−c^2=0

3式を加えると,両辺とも同じ(a^2+b^2+c^2)(λ^2+λ+1)になるので,この3式は独立ではなく,a=b=cを得る.

 右辺を巡回置換してもいずれも同様に計算してa=b=cに達する.すなわち自明な正三角形の場合以外にはあり得ない.

 裏返しに相似なとき,上述のLM^2,MN^2,NL^2の式はそのままにして,第2式,第3式の右辺のb^2,c^2を入れ換える.

第1式→−a^2−λb^2+(λ+1)c^2=0

第2式は右辺がc^2(λ^2+λ+1)であるから,整理すると

  a^2+λb^2−(λ+1)c^2=0

となるが,これは第1式と同値である.

第3式は右辺がb^2(λ^2+λ+1)であるから,整理すると

  −a^2−λb^2+(λ+1)c^2=0

となって,これも第1式と同値である.

 すなわち,この場合には相似条件式が同一の条件

  a^2+λb^2−(λ+1)c^2=0

になる.もちろんa=b=cはこれを満足するが,それ以外にも多数の解がある.そしてそれが必要十分条件であり,実際に縮小三角形がもとの三角形と裏返しに相似になる.

例:λ=2のとき,a=1,b=2,c=√3(正三角形の半分)

同様にa,b,cを巡回置換すれば

  −(λ+1)a^2+b^2+λc^2=0

  λa^2−(λ+1)b^2+λc^2=0

という場合が生ずるが,これは単にa,b,cの順序を変えた(三角形を回した)ものにすぎない.

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【雑感】重心座標を用いないで,ベクトルで解く場合,縮小三角形がもとの三角形と相似とすると,面積の関係から長さの相似比は

  (λ−1)/√(λ^2+λ+1)

であることを示すのが結構大変である.

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