θ（ｔ）＝Σｅｘｐ（−πｍ^2ｔ）

はテータ関数ですが，ここでは無限級数

　　Σ(n=1,∞)ｅｘｐ（−ｎ^2ｔ），ａn＝ｅｘｐ（−ｎ^2ｔ）

を考えます．

　ダランベールの比判定法ではなく，コーシーの根判定法を用いると

　　n√ａn＝ｅｘｐ（−ｎｔ）

したがって，

［１］ｔ＞０のとき，n√ａn＝ｅｘｐ（−ｎｔ）＜ｅｘｐ（−ｔ）＜１→収束

［２］ｔ＜０のとき，n√ａn＝ｅｘｐ（−ｎｔ）＞ｅｘｐ（−ｔ）＞１→発散

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　もちろん，この結果はダランベールの比判定法の結果と一致します．ダランベールの比判定法では

　　ａn+1／ａn＝ｅｘｐ（−（２ｎ＋１）ｔ）

したがって，

［１］ｔ＞０のとき，ａn+1／ａn＝ｅｘｐ（−（２ｎ＋１）ｔ）＜ｅｘｐ（−ｔ）＜１→収束

［２］ｔ＜０のとき，ａn+1／ａn＝ｅｘｐ（−（２ｎ＋１）ｔ）＞ｅｘｐ（−ｔ）＞１→発散

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