Σａnｘ^n＝Σ(n!)^2/(2n)! x^n

の収束半径が4となるのはすぐわかる．

　項比をとると

　　ａn+1／ａn＝（ｎ＋１）^2／（２ｎ＋２）（２ｎ＋１）・ｘ→ｘ／４

となるから．ｘ＝４での挙動）では

　　ａn／ａn+1＝（２ｎ＋２）（２ｎ＋１）／４（ｎ＋１）^2

＝（２ｎ＋１）／２（ｎ＋１）＝１−１／２（ｎ＋１）＝１−（１／２）／ｎ＋ｏ（１／ｎ）→発散

　Raabeの判定法は，正項級数のときのもの．よって

　　Σ(n!)/(2n!)4^n

が発散することは，証明できる．では，

［Ｑ］　　Σ(n!)/(2n!)（-4)^nは？　　（正項級数でない）

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an=(n!)^2/(2n)! (4)^n

のとき

an+1/an = (2n+2)/(2n+1)

つまり

anは単調増加列であり，anは0に収束しない．

よって

Σ(n!)^2/(2n)! (4)^n

および

Σ(n!)^2/(2n)! (-4)^n

は発散ということになるようだ．（するとRaabeの判定方法はいらないことになった．）　　　（阪本ひろむ）

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