０＜（ｅ^π−π^e）＜１

を示すことができるだろうか？

　　ｅ^π＝２３．１４０６９・・・≒π＋２０

　　π^e＝２２．４５９１５・・・

となるが，π^eについては，昔なら数表を使うか，計算尺(LL尺付き）を使うことになるだろう．

　なお，π^eは代数的数かわかっていないが，ｅ^πは超越数であることがわかっている．Mathematicaに代数的数かどうか調べる機能がある．この判定を数式処理システムが自動証明できるとは思えない．プログラム組み込みで，これらの判定をするようになっているのだろう．

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【０】カタラン予想との類似性

　ベルギーの数学者カタランは，カタラン数やカタランの立体（準正多面体の双対）でその名を知られています．１８４４年，カタランは方程式：

　　ｘ^p−ｙ^q＝１

の整数解が（ｘ，ｙ，ｐ，ｑ）＝（３，２，２，３）だけである，すなわち，８と９だけが唯一連続するベキ乗数であるということであると予想しました．　　３^2−２^3＝１

ですが，それに証明を与えることはできませんでした．

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【１】カタラン予想の攻略

　この問題には長い歴史があります．ビトリーは平方数と立方数で１違うものは（１，２）（２，３）（３，４）（８，９）しかないと指摘，ゲルションは３^m±１（ｍ＞２）は必ず奇数の素因数をもつため，２の累乗にはならないことを証明してビトリーの正当性を明らかにしました．

　ベルゲンは１３２０年頃，

　　３^p−２^q＝１

ならば（ｐ，ｑ）＝（２，３）であることを証明しました．

　１７３４年，オイラーは，

　　ｘ^2−ｙ^3＝１

ならば（ｘ，ｙ）＝（３，２）であることを示しました．しかし，カタラン予想は４以上の累乗も認められているので，こうした結果だけでは証明できません．

　ｐ＝２，ｑ＝３（オイラー，１７３８年），ｑ＝２（ルベーグ，１８５０年），ｐ＝３，ｑ＝３（ナゲル，１９２１年），ｐ＝４（セルバーグ，１９３２年），ｐ＝２（チャオ・コウ，１９６７年）などの研究があり，たとえば，ｘ^p−ｙ^2＝１は正の整数解をもたないというのがルベーグの定理です．

　１９７６年，テイデマンはベーカーの先駆的仕事をもとにして，カタランの方程式にはたとえ解があるにしても有限個の解しかなく，その場合（ｐ，ｑ）は１０^110より小さくなければならないことを証明しました．１９９９年，ミニョットは上限を１０^16，下限を１０^7の範囲まで大きく減らしました．

　しかし，これも大きすぎてコンピュータではチェックできす，証明は望み薄でした．

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【２】ヴィーフェリッヒの定理（１９０９年）

　「フェルマー方程式ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^pが非自明解をもつためには，ｐはヴィーフェリッヒ素数であることが必要である」

　　（２^(p-1)−１）／ｐ＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）･･･Wieferich判定基準

　すなわち，２^(p-1)−１はｐ^2で割り切れるというものです．フェルマーの小定理より（２^(p-1)−１）／ｐは整数となりますが，非常に稀にこの整数がｐの倍数になることがあり，そのときｐをヴィーフェリッヒ素数といます．

　ヴィーフェリッヒ素数はｐ＝１０９３，３５１１が知られています．２つのヴィーフェリッヒ素数−１を２進数に変換すると

　　１０９２＝１０００１０００１００

　　３５１０＝１１０１１０１１０１１０

のように奇妙なパターンがみられるのだそうです．

　なお，１９１０年，ミリマノフは

　「フェルマー方程式ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^pが非自明解をもつためには，ｐはミリマノフ素数であることが必要である」をつけ加えています．

　　（３^(p-1)−１）／ｐ＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）

　すなわち，３^(p-1)−１はｐ^2で割り切れるというものですが，（３^(p-1)−１）／ｐが整数となるｐとしてｐ＝１１，１００６００３が知られています．また，５^(p-1)−１がｐ^2で割り切れるｐとしてはｐ＝１８８７４８１４６８０１が知られています．

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【３】ミハイレスクの定理（２００２年）

　オイラー以後，カタラン予想の一般的な証明は多くの数学者たちの挑戦を退けてきたのですが，２００２年，ルーマニアの数学者，ミハイレスクがすべてを解決しました．

　ミハイレスクは

　「カタラン方程式ｘ^p−ｙ^q＝１が非自明解をもつためには（ｐ，ｑ）がヴィーフェリッヒ対でなければならない」

すなわち，３^2−２^3＝１以外の解が存在するならば，ｐ，ｑはどちらもヴィーフェリッヒ素数の２倍，したがって，ｐ^(q-1)をｑ^2で割ると余りが１，ｑ^(p-1)をｐ^2で割ると余りが１にならなければならないことを証明しました．

　（ｐ，ｑ）がヴィーフェリッヒ対でなければならないこと，そして，ミハイレスクはクンマーがフェルマー予想の証明の試みの中での発展させた「円分体の理論」を利用して，１のｎ次複素根を使った巧みな証明によって，１５８年間進展の見られなかったこの問題の最後の穴をふさぐことができたのです．

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【４】カタラン予想の一般化

　かくしてカタラン予想はミハイリスク定理となって，数学界を仰天させたのですが，ワイルスがフェルマー予想を証明したときのほどの興奮はなく解かれました．しかしまだ終わりではありません．

　カタラン予想をガウス整数を使って一般化すると

　　ｘ^p−ｙ^q＝±１，±ｉ

なる複素数ａ＋ｂｉが存在するかどうかという問題になります．

　現在のところ，

　　（７８＋７８ｉ）^2−（−２３ｉ）^3＝ｉ

以外の解があるかどうかについてはわかっていないそうです．

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