正軸体系の（１，・・・，１，０）は，置換多面体や平行多面体ともよく混同される．３次元では空間充填図形であるが，４次元以上ではそうはならない．

　そのことは以下のようにして知ることができる．３次元の正四面体系と正八面体系，４次元の正１６胞体系と正２４胞体系の準正多胞体に重複が存在する．

　　｛３，３｝（０，１，０）≡｛３，４｝（１，０，０）

　　｛３，３｝（１，０，１）≡｛３，４｝（０，１，０）

　　｛３，３｝（１，１，１）≡｛３，４｝（１，１，０）

　　｛３，３，４｝（０，１，０，０）≡｛３，４，３｝（１，０，０，０）

　　｛３，３，４｝（１，０，１，０）≡｛３，４，３｝（０，１，０，０）

　　｛３，３，４｝（１，１，１，０）≡｛３，４，３｝（１，１，０，０）

　すなわち，

　　｛３，３，４｝（１，１，１，０）≡｛３，４，３｝（１，１，０，０）

は切頂正２４胞体と一致するから，４次元空間を充填するためには，４次元立方体を補充しなければならない．（その３５６）の検討で空間充填するように思えたのは３次元人の錯覚なのである．

　５次元以上についても

ｎ　　　３^n−１−２^(n-1)ｎ　　　２（２^n−１）

２　　　　　　４　　　　　　　　　　　　６

３　　　　　１４　　　　　　　　　　　１４

４　　　　　４８　　　　　　　　　　　３０

５　　　　１５２　　　　　　　　　　　６２

６　　　　５３６　　　　　　　　　　１２６

であって，正軸体系の（１，・・・，１，０）は空間充填図形にはならない．何を補充すれば空間充填図形になるのだろうか？　ｎ次元立方体だけでいいのだろうか？

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